Układ ortogonalny, niezależność wektorów

[Karol566]

Niech układ wektorów \(\displaystyle{ e_1, . . . , e_n}\) (\(\displaystyle{ e_i \ne 0, i = 1, . . . , n}\)) będzie układem ortogonalnym w przestrzeni wektorowej wyposażonej w iloczyn skalarny.
Trzeba pokazać, że wektory \(\displaystyle{ e_1, . . . , e_n}\) są liniowo niezależne.

Mam odpowiedź do tego zadania, ale za grosz jej nie rozumiem. Byłbym wdzięczny gdyby mógł mi ktoś łatwo pokazać jak to wykazać.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_k=0 \Rightarrow 0= \left\langle \sum_{k=1}^{n}a_ke_k,e_i\right\rangle = \sum_{k=1}^{n}a_k\left\langle e_k,e_i\right\rangle =a_i\left| \left| e_i\right| \right|^2 }\)

\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle}\) - iloczyn skalarny

[Dasio11]

Z definicji liniowej niezależności trzeba pokazać, że jedynym ciągiem skalarów \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\), dla którego zachodzi

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k e_k = \vec{0}}\),

jest \(\displaystyle{ a_1 = \ldots = a_n = 0}\). Weźmy więc dowolne skalary \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) spełniające powyższą równość. Dla \(\displaystyle{ i=1, \ldots, n}\) nakładamy na obie strony iloczyn skalarny z wektorem \(\displaystyle{ e_i}\), otrzymując

\(\displaystyle{ \left< \sum_{k=1}^n a_k e_k, e_i \right> = \left< \vec{0}, e_i \right> = 0}\).

Możemy rozpisać lewą stronę, korzystając kolejno z dwuliniowości i z faktu, że \(\displaystyle{ \left< e_k, e_i \right> = 0}\) dla \(\displaystyle{ k \neq i}\):

\(\displaystyle{ \left< \sum_{k=1}^n a_k e_k, e_i \right> = \sum_{k=1}^n a_k \left< e_k, e_i \right> = a_i \left< e_i, e_i \right> = a_i \| e_i \|^2}\).

Łącząc te równości dostajemy \(\displaystyle{ a_i \| e_i \|^2 = 0}\). Jednak \(\displaystyle{ \| e_i \|^2}\) z założenia nie może być zerem, a więc musi być \(\displaystyle{ a_i = 0}\). Powtarzając rozumowanie dla wszystkich \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots, n}\) widzimy, że \(\displaystyle{ a_1 = \ldots = a_n = 0}\), tak jak trzeba.

[Karol566]

Dzięki wielkie! Teraz wszystko jasne