Hiperpłaszczyzny mają dokładnie jeden punkt wspólny

[matmatmm]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ a,b\in\RR^n}\), a \(\displaystyle{ V}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^n}\). Udowodnić, że hiperpłaszczyzny \(\displaystyle{ a+V}\) oraz \(\displaystyle{ b+V^{\perp}}\) mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Mam (chyba poprawny) dowód do tego zadania (który mogę wrzucić w razie potrzeby). Interesuje mnie jednak następujące pytanie: Czy teza pozostanie prawdziwa, jeśli osłabimy założenia w następujący sposób:

Dane są \(\displaystyle{ a,b\in\RR^n}\) oraz podprzestrzenie liniowe \(\displaystyle{ V,W}\) takie, że \(\displaystyle{ R^n}\) jest ich sumą prostą. Pytanie czy hiperpłaszczyzny \(\displaystyle{ a+V, b+W}\) mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Dowód, który mam nie obejmuje przypadku \(\displaystyle{ W\neq V^{\perp}}\).

[Dasio11]

Tak, ogólniejsza teza jest prawdziwa.

Rozważmy funkcję liniową \(\displaystyle{ \varphi : \RR^n \to (\RR^n/V) \oplus (\RR^n/W)}\) daną jako \(\displaystyle{ \varphi(x) = (x+V, x+W)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \ker \varphi = V \cap W = \{ 0 \}}\), czyli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest różnowartościowe. Jednak nietrudno obliczyć, że wymiar dziedziny jest równy wymiarowi przeciwdziedziny, a zatem \(\displaystyle{ \varphi}\) jest izomorfizmem. To znaczy dokładnie tyle, że dla dowolnej pary warstw \(\displaystyle{ (a+V, b+W)}\) istnieje dokładnie jeden \(\displaystyle{ x \in \RR^n}\) taki że \(\displaystyle{ x \in a+V}\) i \(\displaystyle{ x \in b+W}\).