Znaleźć równanie opisujące przeciwobraz przestrzeni liniowej

[Matiks21]

Hej,
mam jakieś braki w wiedzy, bo nie wiem jak ruszyć zadanie:

Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) będzie przekształceniem liniowym opisanym macierzą
\(\displaystyle{
M(f) =
\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 & 5 & 3 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
2 & 2 & 4 & 4
\end{array}\right],
}\)
Opisz układem równań przestrzeń \(\displaystyle{ f^{-1}(V)}\), gdzie \(\displaystyle{ V = \{(1,0,1), (1,1,1), (0,2,2)\}}\).

Moje podejście wyglądało tak, że starałem się znaleźć takie wektory tworzące kolumny macierzy \(\displaystyle{ X}\), że
\(\displaystyle{ M(f) \cdot X = Y}\)
gdzie \(\displaystyle{ Y}\) jest macierzą o wektorach z wypisanych wektorów rozpinających przestrzeń \(\displaystyle{ V}\).
Żeby to zrobić chciałem wymnożyć stronami przez transpozycje macierzy \(\displaystyle{ M(f)}\), a następnie przez odwrotność macierzy \(\displaystyle{ M(f) ^T \cdot M(f)}\), ale macierz ta jest nieodwracalna.

Ktoś ma jakiś pomysł i mógłby mi podpowiedzieć jak otrzymać macierz \(\displaystyle{ X}\) , albo że źle się za to zabieram?
Pozdrowienia

[matmatmm]

To zadanie wymaga rozwiązania trzech niejednorodnych układów liniowych, gdyż zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest trójelementowy:

\(\displaystyle{ f(x)=(1,0,1)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(0,2,2)}\)

Zbiór rozwiązań każdego z tych układów jest podprzestrzenią afiniczną \(\displaystyle{ \RR^4}\), a \(\displaystyle{ f^{-1}(V)}\) to suma mnogościową tych podprzestrzeni.

Ukryta treść:    

Chyba, że jest błąd w treści i \(\displaystyle{ V}\) ma być podprzestrzenią liniową rozpiętą na tych trzech wektorach.

[Jan Kraszewski]

Chyba, że jest błąd w treści i \(\displaystyle{ V}\) ma być podprzestrzenią liniową rozpiętą na tych trzech wektorach.

Stawiam na to, że właśnie o to chodzi.

JK