Wypukłość funkcji

[Rafcio_srubka]

Witam,

mam problem z zadaniem dotyczącym badania wypukłości funkcji z poniższej definicji:

Def:

Niech \(\displaystyle{ M \subset \RR^{n} }\) będzie zbiorem wypukłym. Funkcję \(\displaystyle{ f: M\longrightarrow \RR}\) nazywamy funkcją wypukłą gdy:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{ x,y \in M } \bigwedge\limits_{ t \in \left<0,1\right>} f( (1-t) x + ty ) \le (1-t) f(x) + t f(y) }\)



Mam do zrobienia poniższe zadanie.
Zbadaj wypukłość podanych funkcji:

1. \(\displaystyle{ f: \RR^{2} \longrightarrow \RR , f(x)=2 x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} }\)

2. \(\displaystyle{ f: \RR^{2} \longrightarrow \RR , f(x)=e^{(X|X)} }\)

3. \(\displaystyle{ f: \RR^{2} \longrightarrow \RR , f(x)= \sqrt { x_{1}x_{2}}}\)

Nie wiem jak zapisać lewą stronę nierówności.
Czy w moim przypadku będzie to :
\(\displaystyle{ f( (1-t) x_{1} + t x_{2} ) }\) ?

Jeżeli tak, to jak mam to teraz podstawić do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=2 x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} }\) skoro tam występuje \(\displaystyle{ x_{1} }\) i \(\displaystyle{ x_{2} }\) a my tutaj mamy ogólny wzór, na \(\displaystyle{ x}\) który mówi nam, że powinniśmy za niego podstawić \(\displaystyle{ (1-t) x_{1} + t x_{2} }\)?

Proszę o radę

[a4karo]

`x=(x_1,x_2), \ y=(y_1,y_2), (1-t)x+ty=...`

[Rafcio_srubka]

Dziękuję za odpowiedź.

Doszedłem do takiej nierówności:
\(\displaystyle{ 2(1-t)^{2} x_{1}x_{2}+2(1-t)t x_{1}y_{2}+2t(1-t) x_{2}y_{1}+2t^{2} y_{1}y_{2}+(1-t)^{2} x_{2}^{2}+2(1-t)t x_{2}y_{2}+t^{2}y^{2}_{2} \le 2(1-t) x_{1}x_{2} + (1-t)x_{2}^{2} + 2t y_{1}y_{2}+ty_{2}^{2}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ t \in <0,1>}\)

Co dalej zrobić z taką nierównością aby ją udowodnić?

Przeniesienie na jedną stronę chyba niewiele pomoże

[Premislav]

Nie chce mi się myśleć, jak to pozwijać (poza tym to rozwiązanie działałoby być może akurat tutaj, a niekoniecznie gdzie indziej), więc zaproponuję przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i spojrzenie na to jak na trójmian kwadratowy zmiennej \(\displaystyle{ t, \ t\in [0,1]}\).

Dodano po 26 minutach 40 sekundach:
Chociaż jakby kogoś bardzo interesowało zwinięcie, to w rytm Bolek disco (polecam:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=DD1Pj7Ez6oY

)
zwinąłem to do \(\displaystyle{ t(1-t)\left(\left(x_{2}-y_{2}+x_{1}-y_{1}\right)^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}\right)\ge 0}\)
(co, jak łatwo widać, nie zawsze zachodzi, można się tym jeszcze pobawić), raczej nie powinno być błędu (przynajmniej wolfram twierdzi, że jest OK).

[a4karo]

Tutaj akurat stosowanie definicji nie jest najprostszym pomysłem. Wystarczy zauważyć, że wykres funkcji nad prostą `x_1=-3t, x_2=t` jest parabolą `-t^2`, co raczej jest mało wypukłe. Za to krzywa `x_1=x_2=t` przechodzi w wypukłą parabolę `3t^2`