Układ równań dwiema niewiadomymi.

[wolnysluchacz]

Witam wszystkich serdecznie

Studiuję Ekonomię i na Ekonometrii mamy do policzenia taki oto układ równań z dwiema niewiadomymi (a i b):

\(\displaystyle{
\begin{cases} a \sum_{i=1}^{n} x _{i}^{2} + b \sum_{i=1}^{n}x _{i} = \sum_{i=1}^{n} y _{i} x _{i}
\\ a \sum_{i=1}^{n} x _{i} + nb = \sum_{i=1}^{n} y _{i} \end{cases}
}\)
Problemem jest to n przy niewiadomej b. W pierwszym równaniu sumę można wyłączyć przed nawias, a w drugim??

[a4karo]

Przecież `n` jest taka samą liczbą jak każda z sum

[wolnysluchacz]

Przy takim założeniu

\begin{cases}
\sum_{i=1}^{n}(-y _{i}x _{i} + ax ^{2} _{i}+bx _{i})=0
\\ \sum_{i=1}^{n}(-y _{i} +ax _{i}+b )=0 \end{cases}
\begin{cases} (-y _{i}x _{i} + ax ^{2} _{i}+bx _{i})=0
\\(-y _{i} +ax _{i}+b )=0 \end{cases}
\begin{cases}(-y _{i}x _{i} + ax ^{2} _{i}+bx _{i})=0 \\ (-y _{i} +ax _{i}+b )=0 \Rightarrow b=y _{i}-ax _{i} \end{cases}
wstawiając do pierwszego równania pod b.
\(\displaystyle{ -y _{i} x _{i} +ax _{i} ^{2} +y _{i} x _{i}-ax _{i} ^{2}=0
\\0=0
}\)

Wychodzi mi równanie tożsamościowe.

[a4karo]

A po jaki grzyb robić taka kombinacje.
Masz równanie pierwsze ;
`aA+bB=C`
I drugie
`aD+bE=F`
gdzie wartości dużych liter są znane.

[wolnysluchacz]

Po prostu tak to potrafiłem sobie wytłumaczyć. Rozwiązałem układ przez podstawienie. Nie wiem jak można to prościej zapisać.

[a4karo]

Nie jest prawdą, że jeżeli suma liczb jest równa zero, to każda z tych liczb jest równa zero

[wolnysluchacz]

No ok, liczby przeciwne. Zatem rozwiązań takiego układu jest nieskończenie wiele, dobrze zrozumiałem?

[a4karo]

Skądże.
Porównaj te dwa układy:


\begin{cases} a \sum_{i=1}^{n} x _{i}^{2} + b \sum_{i=1}^{n}x _{i} = \sum_{i=1}^{n} y _{i} x _{i}
\\ a \sum_{i=1}^{n} x _{i} + nb = \sum_{i=1}^{n} y _{i} \end{cases}
i

\begin{cases} a A + bB=C
\\ aD + Eb =F \end{cases}

Założę się , że to drugie potrafisz rozwiązać. Pierwszego nie potrafisz rozwiązać tylko dlatego, że zamiast `A` jest `\sum_{i=1}^{n} x _{i}^{2} ` etc?

[wolnysluchacz]

Czyli:

\begin{cases} a \sum_{i=1}^{n} x _{i}^{2} + b \sum_{i=1}^{n}x _{i} = \sum_{i=1}^{n} y _{i} x _{i} /\sum_{i=1}^{n}
\\ a \sum_{i=1}^{n} x _{i} + nb = \sum_{i=1}^{n} y _{i} / \sum_{i=1}^{n} \end{cases}
\begin{cases} ax _{i} ^{2} +bx _{i} = x _{i}y _{i} \\ b =y _{i} - ax _{i} \end{cases}
?
Nic więcej mi do głowy nie przychodzi.

[a4karo]

Oj. To strasznie. Naprawdę uważasz, że taki symbol sumy to jest liczba?

Zapomnij o tym co napisałeś chwilkę temu i rozwiąż ten drugi układ równań, który napisałem.

[wolnysluchacz]

\begin{cases} a \sum_{i=1}^{n} x _{i}^{2} + b \sum_{i=1}^{n}x _{i} = \sum_{i=1}^{n} y _{i} x _{i} \Rightarrow b \sum_{i=1}^{n}x _{i} = \sum_{i=1}^{n} y _{i} x _{i} - a \sum_{i=1}^{n} x _{i}^{2}
\\ a \sum_{i=1}^{n} x _{i} + nb = \sum_{i=1}^{n} y _{i} \end{cases}
\begin{cases} b = \frac{\sum_{i=1}^{n} y _{i} x _{i} - a \sum_{i=1}^{n} x _{i}^{2}}{\sum_{i=1}^{n}x _{i}} \Rightarrow b=\sum_{i=1}^{n} y _{i} - a \sum_{i=1}^{n} x _{i}
\\ a \sum_{i=1}^{n} x _{i} + nb = \sum_{i=1}^{n} y _{i} \end{cases}
\begin{cases} b=\sum_{i=1}^{n} y _{i} - a \sum_{i=1}^{n} x _{i}
\\ a \sum_{i=1}^{n} x _{i} + nb = \sum_{i=1}^{n} y _{i} \end{cases}
tak bym zaczął wg tego jak rozwiązałbym Twoje równanie...

No właśnie nie znam właściwości gdy mamy do czynienia z takim symbolem

[a4karo]

To zapomnij o tym symbolu. Przecież każda taka suma to jest jakaś liczba. Potraktuj je jako `A, B, C..
` o po prostu rozwiąż zwykły układ równań (liceum)

[wolnysluchacz]

\begin{cases} a A + bB=C \Rightarrow aA = C-Bb \Rightarrow a = \frac{C-Bb
}{A}
\\ aD + Eb =F \end{cases}
\begin{cases} a A + bB=C \Rightarrow aA = C-Bb \Rightarrow a = \frac{C-Bb
}{A}
\\ \frac{C-Bb
}{A} D + Eb =F / \cdot A\end{cases}
\begin{cases}
a = \frac{C-B \frac{AF-DC}{-DB+AE}
}{A} \Rightarrow a= \frac{C- \frac{BAF-BDC}{-DB+AE} }{A} \\ DC-DBb+ AEb = AF \Rightarrow b(-DB+AE)=AF-DC \Rightarrow b= \frac{AF-DC}{-DB+AE} \end{cases}

[a4karo]

No. A teraz zamiast A,B,C... wpisz te dziwne wyrażenia z sumami, które im odpowiadają