Mondo pisze: ↑19 lis 2020, o 14:32
krl pisze: ↑18 lis 2020, o 06:46
1. Nie "zbiór wektorów
\(\displaystyle{ X_1,\dots,X_n}\)", lecz "układ wektorów
\(\displaystyle{ X_1,\dots,X_n}\)"
W definicji którą można znaleźć np. tutaj
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_independence
wyraznie mowa jest o zbiorze ang. "set" -> "a set of vectors is said to be linearly dependent if at least one..."
Nie zrozumiałeś tego, co napisałem. Chodzi o to, że zapis:
\(\displaystyle{ X_1,\dots,X_n}\) nie oznacza zbioru wektorów, lecz listę, układ, ciąg wektorów. W definicji z wkipedii, którą cytujesz, mowa jest natomiast o tym, kiedy zbiór wektorów jest liniowo zależny (więc i o tym, kiedy jest on liniowo niezależny). Dalej zresztą w podanym przez Ciebie linku w wikipedii podane jest też, kiedy układ (ciąg) wektorów jest liniowo niezależny, która to definicja w szczególnym przypadku daje, że jeśli w ciągu wektorów jakiś wektor się powtarza przynajmniej 2 razy, to ten ciąg wektorów jest liniowo zależny.
Dodam, że ja też w dalszej części swojego postu powyżej definiuję, co to znaczy, że zbiór wektorów jest liniowo zależny/niezależny. Wskazana przez Ciebie definicja liniowo zależnego zbioru wektorów w linku w wikipedii jest niepoprawna (niedokładna), niezgodna z pełnym rozwinięciem tematu w dalszej części artykułu w wikipedii.
Mondo pisze:
krl pisze: ↑18 lis 2020, o 06:46
W szczególności, jeśli w układzie wektorów jakiś wektor powtarza się dwa razy, to ten układ wektorów jest liniowo zależny.
Hmm, a masz jakiś dowód na to? Nie znalazłem takiej definicji nigdzie.
W tym zdaniu nie podaję definicji, tylko konsekwencję definicji. Definicji liniowej niezależności układu wektorów podanej przez Ciebie.
Mondo pisze:
Częściowo kupuję te argumentację ale wciąz mam problem z tym przykładem \(\displaystyle{ \displaystyle{ 1\cdot X_1 + 1\cdot X_2 + 0\cdot X_3 + 1\cdot 0 = 0}}\) jest to równanie które zawiera w sobie wektor zerowy (ostatni wyraz po stronie lewej), nie wszystkie współczynniki są równe 0 więc teretycznie powinno spełaniać definicję, która mówi o tym iż kazdy zbiór zawierający wektor 0 jest liniowo zalezny - takie stwierdzenie znajduję np. tutaj . Ale przecież te wktory które mają współczynniki nie zerowe nie muszę się sumować do zera tak więc `L \ne R` czyli lewa stronie nie bedzie równa prawej. Zgadza się?
Jeszcze prostrzy przyklad \(\displaystyle{ [2,4] + [1,3] + [0,0] = 0}\) -> \(\displaystyle{ [2,4] = k[1,3]}\) co jest oczysiwta nieprawa, czyli zbiór zawiera wektor zerowy ale jak pokaząłem nie jest liniowo zalezny, bo nie ma takiego `k` które pomnożone przez `[1,3]` da `[2,4]`
Przyjrzyjmy się drugiemu przykładowi:
\(\displaystyle{ [2,4] + [1,3] + [0,0] = 0}\) ->
\(\displaystyle{ [2,4] = k[1,3]}\)
Ten zapis jest bez sensu, gdyż nie wiadomo, czym jest
\(\displaystyle{ k}\). Ponadto nie jest prawdą, że
\(\displaystyle{ [2,4] + [1,3] + [0,0] = 0}\) (więc implikacja jest prawdziwa dla każdego
\(\displaystyle{ k}\)). Naucz się wyrażać jasno.
Ale spróbujmy domyślić się, o co tu może chodzić:
Mamy oczywiście:
\(\displaystyle{ 0\cdot[2,4] + 0\cdot[1,3] + 1\cdot[0,0] = 0}\), wiec zgodnie z definicją układ wektorów:
\(\displaystyle{ [2,4],[1,3], [0,0] }\) jest liniowo zależny, podobnie jak zbiór wektorów
\(\displaystyle{ \{[2,4],[1,3],[0,0]\}}\). Oczywiście, wektor
\(\displaystyle{ [2,4]}\) nie jest liniową kombinacją wektora
\(\displaystyle{ [1,3]}\), nie przeczy to w żaden sposób temu, że zbiór wektorów
\(\displaystyle{ \{[2,4],[1,3],[0,0]\}}\) jest liniowo zależny.
Jeszcze raz podkreślę: "definicja" ze wstępu do artykułu w wikipedii:
"a set of vectors is said to be linearly dependent if at least one of the vectors in the set can be defined as a linear combination of the others"
jest literalnie fałszywa, gdyż nie stosuje się do liniowo zależnego zbioru złożonego wyłącznie z wektora zerowego. Chyba że przyjmiemy konwencję, ze wektor zerowy jest "pustą liniową kombinacją zerowej liczby wektorów".