Układ w ciele Z_p w zależności od p

[Asiasx]

Niech p będzie liczbą pierwszą. W zależności od p podaj liczbę rozwiązań układu
równań \(\displaystyle{ \left \{ {{5x+3y=4} \atop {3x+6y=1}} \right. }\) w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p} }\). Podaj wzory na x, y (rozwiązania ogólne układu równań).

Byłbym wdzięczny za jakieś wskazówki. Potrafię rozwiązać układ, mając dane p (poprzez działania modulo p na wierszach macierzy), ale nie wiem, od czego zacząć przy bardziej ogólnym zadaniu.

[Dasio11]

Zacznij od zastosowania twierdzenia Cramera.

[Asiasx]

Zacznij od zastosowania twierdzenia Cramera.

Da się rozwiązać bez tego twierdzenia? Nie miałem go jeszcze na wykładzie.

[Dasio11]

Na pewno nie omawialiście metody rozwiązywania układów równań polegającej na liczeniu wyznaczników?

Skoro tak, to zacznij od odjęcia od równania drugiego dwukrotności równania pierwszego.

[Asiasx]

Na pewno nie omawialiście metody rozwiązywania układów równań polegającej na liczeniu wyznaczników?

Skoro tak, to zacznij od odjęcia od równania drugiego dwukrotności równania pierwszego.

Nie. Rozwiązywaliśmy jedynie wykonując operacje elementarne na wierszach, dochodząc do postaci schodkowej zredukowanej (być może wynika to z tego, że miałem dopiero 2 wykłady) i to potrafię, tylko pytanie, czy mam postępować jak w liczbach rzeczywistych i wtedy wyniki to \(\displaystyle{ x = 1, y = - \frac{1}{3} }\) i dopiero tutaj coś działać z modulo p czy jakoś inaczej?

[Dasio11]

Trochę inaczej. Po wykonaniu wspomnianej operacji i pomnożeniu drugiego równania przez \(\displaystyle{ -1}\) dostajemy równoważny układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x+3y=4 \\ 7x = 7 \end{cases}}\)

W liczbach rzeczywistych drugie równanie można by podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 7}\), od razu otrzymując \(\displaystyle{ x=1}\). W ciele reszt może się to okazać niemożliwe, a konkretnie - wtedy gdy \(\displaystyle{ 7=0}\), co jest prawdą dla \(\displaystyle{ p = 7}\). Dlatego w tym momencie należy rozważyć dwa przypadki:

1. Jeśli \(\displaystyle{ p = 7}\), to drugie równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ 0=0}\), czyli jest zawsze spełnione. Układ zaś redukuje się do pierwszego równania, które rozwiązujesz zwykłymi metodami otrzymując siedem możliwych par \(\displaystyle{ (x, y)}\).

2. Jeśli \(\displaystyle{ p \neq 7}\), to w \(\displaystyle{ \ZZ_p}\) mamy \(\displaystyle{ 7 \neq 0}\) (bo siódemka nie jest wielokrotnością \(\displaystyle{ p}\)), zatem \(\displaystyle{ 7}\) jest w tym ciele odwracalna i możemy przez nią podzielić równanie, dostając \(\displaystyle{ x=1}\). Wstawiając to do pierwszego równania dostajemy \(\displaystyle{ 3y=-1}\), co znów oznacza konieczność rozważenia dwóch przypadków.

(a) \(\displaystyle{ p=3}\) - wtedy równanie to \(\displaystyle{ 0=-1}\) i rozwiązań oczywiście nie ma;
(b) \(\displaystyle{ p \neq 3}\) - dzieląc przez \(\displaystyle{ 3}\) otrzymujemy ostatecznie

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = 1 \\ y = -\frac{1}{3}
\end{cases}}\)

I to koniec, bo drugiego równania już się nie da uprościć bez znajomości \(\displaystyle{ p}\).

Oczywiście wszystkie zapisy typu \(\displaystyle{ 7, -1, \frac{1}{3}}\) są rozumiane w odpowiednim ciele \(\displaystyle{ \ZZ_p}\), na przykład w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) kolejno: \(\displaystyle{ 7 = 2; \, -1 = 4; \, \frac{1}{3} = 2}\).

[Asiasx]

Dobrze, już rozumiem! Bardzo dziękuję