Uwaga. Ta własność jest krokiem dowodowym w twierdzeniu, że izometria określona pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR^n}\) ma wzór jak funkcja afiniczna, więc nie mogę zapisać funkcji \(\displaystyle{ f}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x)=Ax}\) dla pewnej macierzy izometrii. Dowód ten częściowo wymyślam sam, więc nie wykluczam możliwości, że mimo wszystko trzeba tutaj z tego faktu korzystać, a fakt ten dowodzi się w inny sposób. Oczywiście wiem, że łatwo znaleźć dowody, że izometria jest funkcją afiniczną, jednak tutaj mamy sytuację specyficzną, bo dziedziną izometrii \(\displaystyle{ f}\) nie jest cała przestrzeń.
Dodano po 1 dniu 15 godzinach 28 minutach 15 sekundach:
Skoro nie dostałem odpowiedzi, to zalinkuję docelowe twierdzenie, które chcę udowodnić:
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/1634271/prove-that-an-isometry-on-a-subset-of-mathbbrn-is-affine
Mam dokładnie ten sam problem ze zrozumieniem dowodu, co ktoś napisał w komentarzu. Dlaczego \(\displaystyle{ w_i}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ W}\) ?
Dodano po 2 dniach 5 godzinach 43 minutach 7 sekundach:
Udało mi się udowodnić własność, o której pisałem na początku (z małą pomocą Internetu). Jak ktoś jest zainteresowany, to proszę:
Pokazujemy kolejno:
Dla każdych \(\displaystyle{ s,s'\in S}\): \(\displaystyle{ \langle s,s'\rangle=\langle f(s), f(s')\rangle}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ s\in S}\): \(\displaystyle{ F(s)=\sum_{i=1}^k\alpha_i f(s_i)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_i}\) to współczynniki wektora \(\displaystyle{ s}\) w naszej bazie.
Dla każdego \(\displaystyle{ s\in S}\): \(\displaystyle{ \|s\|^2=\langle f(s), F(s)\rangle}\).
Ostatecznie \(\displaystyle{ \|F(s)\|^2=\|f(s)\|^2=\langle f(s), F(s)\rangle}\), a stąd łatwo wywnioskować \(\displaystyle{ f(s)=F(s)}\).