Izometria określona na pewnym podzbiorze.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Izometria określona na pewnym podzbiorze.

Post autor: matmatmm »

Niech \(\displaystyle{ n,m,k\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ S\subset \RR^n}\) będzie pewnym zbiorem, dla którego \(\displaystyle{ 0\in S}\). Ponadto \(\displaystyle{ U=\mathrm{lin} (S)}\) oraz \(\displaystyle{ (s_1,\ldots,s_k)}\) jest bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) taką, że wszystkie \(\displaystyle{ s_i}\) należą do \(\displaystyle{ S}\). Dalej funkcja \(\displaystyle{ f:S\rightarrow \RR^m}\) jest izometrią taką, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) (oczywiście nie zakładam, ze izometria musi być suriekcją), a funkcja \(\displaystyle{ F:U\rightarrow\RR^m}\) jest izometrią, o której wiemy, że jest liniowa. Wiadomo poza tym, że funkcje \(\displaystyle{ f}\) oraz \(\displaystyle{ F}\) są równe na każdym wektorze bazowym \(\displaystyle{ s_i}\). Chcę pokazać, że wówczas \(\displaystyle{ F|_S=f}\).

Uwaga. Ta własność jest krokiem dowodowym w twierdzeniu, że izometria określona pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR^n}\) ma wzór jak funkcja afiniczna, więc nie mogę zapisać funkcji \(\displaystyle{ f}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x)=Ax}\) dla pewnej macierzy izometrii. Dowód ten częściowo wymyślam sam, więc nie wykluczam możliwości, że mimo wszystko trzeba tutaj z tego faktu korzystać, a fakt ten dowodzi się w inny sposób. Oczywiście wiem, że łatwo znaleźć dowody, że izometria jest funkcją afiniczną, jednak tutaj mamy sytuację specyficzną, bo dziedziną izometrii \(\displaystyle{ f}\) nie jest cała przestrzeń.

Dodano po 1 dniu 15 godzinach 28 minutach 15 sekundach:
Skoro nie dostałem odpowiedzi, to zalinkuję docelowe twierdzenie, które chcę udowodnić:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/1634271/prove-that-an-isometry-on-a-subset-of-mathbbrn-is-affine


Mam dokładnie ten sam problem ze zrozumieniem dowodu, co ktoś napisał w komentarzu. Dlaczego \(\displaystyle{ w_i}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ W}\) ?

Dodano po 2 dniach 5 godzinach 43 minutach 7 sekundach:
Udało mi się udowodnić własność, o której pisałem na początku (z małą pomocą Internetu). Jak ktoś jest zainteresowany, to proszę:

Pokazujemy kolejno:

Dla każdych \(\displaystyle{ s,s'\in S}\): \(\displaystyle{ \langle s,s'\rangle=\langle f(s), f(s')\rangle}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ s\in S}\): \(\displaystyle{ F(s)=\sum_{i=1}^k\alpha_i f(s_i)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_i}\) to współczynniki wektora \(\displaystyle{ s}\) w naszej bazie.

Dla każdego \(\displaystyle{ s\in S}\): \(\displaystyle{ \|s\|^2=\langle f(s), F(s)\rangle}\).

Ostatecznie \(\displaystyle{ \|F(s)\|^2=\|f(s)\|^2=\langle f(s), F(s)\rangle}\), a stąd łatwo wywnioskować \(\displaystyle{ f(s)=F(s)}\).
ODPOWIEDZ