Przestrzeń liniowa nad ciałem

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ S}\) baza \(\displaystyle{ T}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2-}\)liniowe mnożenie \(\displaystyle{ \cdot }\) on \(\displaystyle{ T}\) jest łączne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( a \cdot b\right) \cdot c=a \cdot \left( b \cdot c\right) }\) dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b,c \in S}\).

Nie bardzo rozumiem co się tutaj dzieje. Może ktoś wytłumaczyć jak to zrobić?

[Dasio11]

Implikacja w prawo jest oczywista. W drugą stronę żeby wykazać, że \(\displaystyle{ (u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ u, v, w \in T}\), rozpisz te elementy w bazie i skorzystaj z dwuliniowości mnożenia, potem użyj założenia i znów dwuliniowości.

[max123321]

Chwila bo ja tak szybko nie rozumuję. Czy implikacja w prawo jest oczywista dlatego, że jeśli mnożenie w \(\displaystyle{ T}\) jest łączne to jest łączne dla wszystkich elementów z \(\displaystyle{ T}\) czyli w szczególności dla elementów z bazy? No dobra to teraz w drugą stronę. Musimy chyba przyjąć, że przestrzeń \(\displaystyle{ T}\) jest dowolnego wymiaru \(\displaystyle{ n}\), a więc baza będzie wyglądać tak: \(\displaystyle{ S=\left\{ s_1,s_2,...,s_n\right\} }\). Dobra to teraz z tego co mówisz, muszę rozpisać te elementy \(\displaystyle{ u,v,w}\). Każdy element z przestrzeni można zapisać za pomocą kombinacji liniowej elementów z bazy zatem: \(\displaystyle{ u=f_1x_1+f_2x_2+...+f_nx_n}\) dla \(\displaystyle{ f_i \in F}\).
Dalej \(\displaystyle{ v=g_1x_1+g_2x_2+...+g_nx_n}\) i \(\displaystyle{ w=h_1x_1+h_2x_2+...+h_nx_n}\) analogicznie. No to teraz piszę tak:
\(\displaystyle{ \left( u \cdot v\right) \cdot w=\left( \left(f_1x_1+f_2x_2+...+f_nx_n \right)\left(g_1x_1+g_2x_2+...+g_nx_n\right) \right) \left(h_1x_1+h_2x_2+...+h_nx_n \right)= }\)
Nie mogę tego teraz dalej rozpisać, bo jakieś dziwne szlaczki wyskakują chociaż z tego powinno wyjść. Czy jest jakiś sposób na skrócenie tego zapisu?

[Dasio11]

Czy implikacja w prawo jest oczywista dlatego, że jeśli mnożenie w \(\displaystyle{ T}\) jest łączne to jest łączne dla wszystkich elementów z \(\displaystyle{ T}\) czyli w szczególności dla elementów z bazy?

Tak.

No dobra to teraz w drugą stronę. Musimy chyba przyjąć, że przestrzeń \(\displaystyle{ T}\) jest dowolnego wymiaru \(\displaystyle{ n}\), a więc baza będzie wyglądać tak: \(\displaystyle{ S=\left\{ s_1,s_2,...,s_n\right\} }\).

Przestrzeń może mieć też nieskończony wymiar, ale dowód w tym przypadku jest zasadniczo ten sam.

No to teraz piszę tak:
\(\displaystyle{ \left( u \cdot v\right) \cdot w=\left( \left(f_1x_1+f_2x_2+...+f_nx_n \right)\left(g_1x_1+g_2x_2+...+g_nx_n\right) \right) \left(h_1x_1+h_2x_2+...+h_nx_n \right)= }\)
[...] Czy jest jakiś sposób na skrócenie tego zapisu?

Użyj symbolu sumy i zacznij od rozpisania:

\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=1}^n f_i x_i \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^n g_j x_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f_i g_j (x_i \cdot x_j)}\)

[max123321]

Ok, zatem czy chodzi po prostu o to?:
\(\displaystyle{ (u \cdot v) \cdot w=(\left( \sum_{i=1}^n f_i x_i \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^n g_j x_j \right))(\left( \sum_{k=1}^n h_k x_k \right)) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f_i g_j (x_i \cdot x_j) \cdot \sum_{k=1}^n h_k x_k=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n f_i g_jh_k (x_i \cdot x_j) \cdot x_k=\\=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n f_i g_jh_k x_i \cdot (x_j \cdot x_k)=\sum_{i=1}^n f_ix_i \cdot \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (g_jx_j \cdot h_kx_k)=\sum_{i=1}^n f_ix_i \cdot (\sum_{j=1}^n g_jx_j \cdot \sum_{k=1}^nh_kx_k)=u \cdot (v \cdot w)}\)

W ten sposób?

[Dasio11]

Dokładnie tak.