Macierz z dwoma parametrami

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Asiasx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 14 kwie 2019, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Macierz z dwoma parametrami

Post autor: Asiasx »

W zależności od parametrów \(\displaystyle{ a,b}\) (rzeczywiste) rozwiąż układ równości zadany macierzą.\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}a&1&2&1\\b&1&2&1\\2&2&4&1\end{array}\right]}\)

Zaczęłam próbować doprowadzić macierz do postaci schodkowej i:
1) dla \(\displaystyle{ a=1, b}\) dowolne - sprzeczne
2) dla \(\displaystyle{ a}\)-dowol, \(\displaystyle{ b=1}\) - sprzeczne
3) dla \(\displaystyle{ a=2, b=2}\) mam coś takiego \(\displaystyle{ x _{1}= \frac{1}{2}, x _{2} =-2x _{3}, x_3 }\) dowolne. Czy to znaczy, że jest nieskończenie wiele rozwiązań?
4) dla \(\displaystyle{ a,b \neq 1,a,b \neq 2}\) \(\displaystyle{ x _{1} = \frac{3}{2(1-a)},x _{2} = -2x _{3} + \frac{2-a}{2-2a}, x_{3} }\)-dowolne

Czy to jest poprawne rozwiązanie? Byłabym wdzięczna, gdyby ktoś to sprawdził, bo sama się trochę gubię:( (zaczęłam 2 tyg temu studia)
Ostatnio zmieniony 26 paź 2020, o 13:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Macierz z dwoma parametrami

Post autor: janusz47 »

Zakładamy, że dana macierz układu równań \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}a&1&2&1\\b&1&2&1\\2&2&4&1\end{array}\right] }\) jest macierzą rozszerzoną układu równań.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a, b }\) - wyznacznik główny układu równań

\(\displaystyle{ W= \left|\begin{array}{cccc}a&1&2 \\b&1&2 \\2&2&4\end{array}\right| = 0 }\)

i wyznaczniki

\(\displaystyle{ W_{x_{1}} = \left|\begin{array}{cccc}1&1&2 \\1&1&2 \\1&2&4\end{array}\right| = 0, \ \ W_{x_{2}} = \left|\begin{array}{cccc}a&1&2 \\b&1&2 \\2&1&4\end{array}\right| = 2(a-b). \ \ W_{x_{3}} =\left|\begin{array}{cccc}a&1&1 \\b&1&1 \\2&2&1\end{array}\right| =-(a-b). }\)

Z twierdzenia Cramera wynika, że dany układ równań jest układem nieoznaczonym dla \(\displaystyle{ a = b }\) i układem sprzecznym gdy \(\displaystyle{ a\neq b.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Macierz z dwoma parametrami

Post autor: a4karo »

NIe wiem kto i kiedy wymyślił taką bzdurę, że jeżeli wszystkie wyznaczniki w metodzie Cramera są zerowe, to układ jest nieoznaczony. Na tym forum pojawia się ono po raz kolejny. Nie wiem również kto wciska takie teksty nieżyjącemu już Cramerowi.

Taki błąd znajdujemy np tu: albo tu i jeszcze w paru innych miejscach - ale w poście nie można podać więcej niż 2 - oraz w poście powyżej

Tutaj akurat łatwo widać, że dla `a=b=1` dostajemy układ sprzeczny.

Swoja drogą bardzo jestem ciekaw co na ten temat mówi etrapez.
ODPOWIEDZ