W zależności od parametrów \(\displaystyle{ a,b}\) (rzeczywiste) rozwiąż układ równości zadany macierzą.\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}a&1&2&1\\b&1&2&1\\2&2&4&1\end{array}\right]}\)
Zaczęłam próbować doprowadzić macierz do postaci schodkowej i:
1) dla \(\displaystyle{ a=1, b}\) dowolne - sprzeczne
2) dla \(\displaystyle{ a}\)-dowol, \(\displaystyle{ b=1}\) - sprzeczne
3) dla \(\displaystyle{ a=2, b=2}\) mam coś takiego \(\displaystyle{ x _{1}= \frac{1}{2}, x _{2} =-2x _{3}, x_3 }\) dowolne. Czy to znaczy, że jest nieskończenie wiele rozwiązań?
4) dla \(\displaystyle{ a,b \neq 1,a,b \neq 2}\) \(\displaystyle{ x _{1} = \frac{3}{2(1-a)},x _{2} = -2x _{3} + \frac{2-a}{2-2a}, x_{3} }\)-dowolne
Czy to jest poprawne rozwiązanie? Byłabym wdzięczna, gdyby ktoś to sprawdził, bo sama się trochę gubię:( (zaczęłam 2 tyg temu studia)
Macierz z dwoma parametrami
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 14 kwie 2019, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 4 razy
Macierz z dwoma parametrami
Ostatnio zmieniony 26 paź 2020, o 13:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Macierz z dwoma parametrami
Zakładamy, że dana macierz układu równań \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}a&1&2&1\\b&1&2&1\\2&2&4&1\end{array}\right] }\) jest macierzą rozszerzoną układu równań.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a, b }\) - wyznacznik główny układu równań
\(\displaystyle{ W= \left|\begin{array}{cccc}a&1&2 \\b&1&2 \\2&2&4\end{array}\right| = 0 }\)
i wyznaczniki
\(\displaystyle{ W_{x_{1}} = \left|\begin{array}{cccc}1&1&2 \\1&1&2 \\1&2&4\end{array}\right| = 0, \ \ W_{x_{2}} = \left|\begin{array}{cccc}a&1&2 \\b&1&2 \\2&1&4\end{array}\right| = 2(a-b). \ \ W_{x_{3}} =\left|\begin{array}{cccc}a&1&1 \\b&1&1 \\2&2&1\end{array}\right| =-(a-b). }\)
Z twierdzenia Cramera wynika, że dany układ równań jest układem nieoznaczonym dla \(\displaystyle{ a = b }\) i układem sprzecznym gdy \(\displaystyle{ a\neq b.}\)
Dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a, b }\) - wyznacznik główny układu równań
\(\displaystyle{ W= \left|\begin{array}{cccc}a&1&2 \\b&1&2 \\2&2&4\end{array}\right| = 0 }\)
i wyznaczniki
\(\displaystyle{ W_{x_{1}} = \left|\begin{array}{cccc}1&1&2 \\1&1&2 \\1&2&4\end{array}\right| = 0, \ \ W_{x_{2}} = \left|\begin{array}{cccc}a&1&2 \\b&1&2 \\2&1&4\end{array}\right| = 2(a-b). \ \ W_{x_{3}} =\left|\begin{array}{cccc}a&1&1 \\b&1&1 \\2&2&1\end{array}\right| =-(a-b). }\)
Z twierdzenia Cramera wynika, że dany układ równań jest układem nieoznaczonym dla \(\displaystyle{ a = b }\) i układem sprzecznym gdy \(\displaystyle{ a\neq b.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Macierz z dwoma parametrami
NIe wiem kto i kiedy wymyślił taką bzdurę, że jeżeli wszystkie wyznaczniki w metodzie Cramera są zerowe, to układ jest nieoznaczony. Na tym forum pojawia się ono po raz kolejny. Nie wiem również kto wciska takie teksty nieżyjącemu już Cramerowi.
Taki błąd znajdujemy np tu: albo tu i jeszcze w paru innych miejscach - ale w poście nie można podać więcej niż 2 - oraz w poście powyżej
Tutaj akurat łatwo widać, że dla `a=b=1` dostajemy układ sprzeczny.
Swoja drogą bardzo jestem ciekaw co na ten temat mówi etrapez.
Taki błąd znajdujemy np tu: albo tu i jeszcze w paru innych miejscach - ale w poście nie można podać więcej niż 2 - oraz w poście powyżej
Tutaj akurat łatwo widać, że dla `a=b=1` dostajemy układ sprzeczny.
Swoja drogą bardzo jestem ciekaw co na ten temat mówi etrapez.