Zastosowanie własności wyznaczników macierzy

[bartekw2213]

Witam, poniżej zamieściłem dwie macierze, których wyznaczniki powinienem znaleźć. Oczywiście mógłbym to zrobić wykorzystując definicję indukcyjną wyznacznika. Chciałbym mimo tego użyć do rozwiązania tego problemu własności wyznaczników (które właśnie przerabiam i w celu ćwiczeń chciałbym je wykorzystać). Jaka własność wyznaczników byłaby w tych przypadkach przydatna?
\(\displaystyle{
\mathbf{X} =
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 4 \\
\end{array} \right|\\

\mathbf{Y} =
\left| \begin{array}{ccc}
5 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 5 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 5 & 2 \\
2 & 2 & 2 & 5 \\
\end{array} \right|
}\)

[Jan Kraszewski]

W pierwszym odejmij pierwszy wiersz kolejno od drugiego, trzeciego i czwartego. Dostaniesz wyznacznik macierzy górnotrójkątnej.

JK

[bartekw2213]

W pierwszym odejmij pierwszy wiersz kolejno od drugiego, trzeciego i czwartego. Dostaniesz wyznacznik macierzy górnotrójkątnej.

Wpadłem już na pomysł uzyskania macierzy górnotrójkątnej, tylko kombinowałem z odejmowaniem kolumn, nie wierszy, dzięki wielkie za pomoc.
Czy mógłbyś wskazać czemu nie udało mi się to poprzez odejmowanie kolumn? Chciałem uzyskać macierz górnotrójkątną, kompletnie zapomniałem, że mogę również dąrzyć do macierzy dolnotrójkątnej. Kolejno przekształcenia które stosowałem, jako oznaczenie kolumny przyjmę \(k_{j}\):
\(\displaystyle{
k_{2} - k_{1},
k_{3} - k_{1}
}\)
I tutaj w celu pozbycia się jedynek w pierwszej kolumnie przeprowadziłem następujące operacje, nie wiem czy są one dozwolone:
\(\displaystyle{
k_{1} - k_{2},
k_{1} - \frac{1}{2} k_{3},
k_{1} - \frac{1}{4}k_{4}
}\)

[Jan Kraszewski]

Możesz równie dobrze odejmować pierwszą kolumnę. Wyjdzie na to samo, tylko dostaniesz wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej.

JK