Doprowadź macierz do postaci zredukowanej

[takimamnick]

Cześć, jestem nowy w tym temacie. Znalazłem takie oto zadanie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3& 1\\ 7& 2 \end{bmatrix}}\)
moje pytanie pewnie wyda się głupie, ale co ja mam z tym zrobić? Doprowadzić do macierzy jednostkowej? Nie chcę podawać kolejnych przykładów, ponieważ chciałbym je zrobić sam.

[janusz47]

Musimy najpierw, stosując \(\displaystyle{ LaTeX }\) (samouczek jest na forum i nauka nie zajmie dużo czasu) zapisać w postaci tablicy macierz.

Potem zaglądamy do książki i odpowiadamy sobie na pytanie, co to jest postać zredukowana macierzy?

[matmatmm]

ale co ja mam z tym zrobić?

Po pierwsze musisz wiedzieć co to jest postać zredukowana macierzy (tak jak napisał janusz47)

Po drugie polecenie "Doprowadź macierz do postaci zredukowanej" jest trochę niepełne (właściwie nie wiadomo jaki ma być związek macierzy w postaci zredukowanej z wyjściową macierzą). JEDNAK znając trochę algebry liniowej, można domyślić się, że chodzi tutaj o stosowanie operacji elementarnych:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Operacje_elementarne

Po trzecie istnieje konkretny algorytm, który pozwala każdą macierz przekształcić do macierzy w postaci zredukowanej w skończonej liczbie kroków (operacji elementarnych). Nazywa się to metoda eliminacji Gaussa.

[janusz47]

Ładnie zapisałeś macierz:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 3& 1\\ 7 & 2 \end{matrix} \right]. }\)

Co to jest postać zredukowana macierzy albo dokładniej zredukowana postać schodkowa macierzy?

Mówimy, że macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej, jeśli jest w postaci schodkowej oraz w każdym niezerowym wierszu pierwszy niezerowy wyraz wynosi \(\displaystyle{ 1 }\) i jest jedynym niezerowym wyrazem w swojej kolumnie.

Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych na wierszach:

(1) dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę,

(2) zamiana dwóch wierszy miejscami,

(3)pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera

sprowadzić do zredukowanej postaci schodkowej.

Zachęcam do udowodnienia tego twierdzenia.

Mnożymy wiersz pierwszy macierzy przez liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\) (operacja elementarna typu (3))

\(\displaystyle{ w_{1}\cdot \frac{1}{3} }\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 7 & 2 \end{matrix} \right] }\)

Do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ -7 }\) (operacja elementarna typu (1))

\(\displaystyle{ w_{2} + w_{1}\cdot (-7) }\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} \end{matrix} \right] }\)

Wiersz drugi mnożymy przez liczbę \(\displaystyle{ -3 }\) (operacja elementarna typu (3))

\(\displaystyle{ w_{2}\cdot (-3) }\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] }\)

Do wiersza pierwszego dodajemy wiersz drugi pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ -\frac{1}{3} }\) (operacja elementarna typu (1))

\(\displaystyle{ w_{1} + w_{2}\cdot \left (-\frac{1}{3}\right ) }\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]. }\)