Szukanie reszty z wielomianu przy pomocy liczb zespolonych

[bartekw2213]

Witam, mam problem z zadaniem, w którym bez wykonywania działań mam obliczyć resztę z dzielenia wielomianu \(P\) przez wielomian \(Q\).
\(\displaystyle{ P(x) = x^{99} + 5x}\)
\(\displaystyle{ Q(x) = x^{2} + 1}\)
Rozumiem, że muszę skorzystać z jednostki urojonej, ponieważ \(Q(i) = Q(-i) = 0\).
I na tym etapie nie rozumiem w jaki sposób mam skorzystać z tej jednostki. To co próbuję zrobić to obliczyć resztę poprzez podstawienie jednostki urojonej do wielomianu \(P\) skoro jest ona pierwiastkiem wielomianu \(Q\) jednak daje mi to błędną odpowiedź \(P(i) = 6i\).
Czemu podjęty przeze mnie sposób rozwiązania tego zadania jest błędny oraz jak powinienem to zrobić w poprawny sposób?

[kerajs]

\(\displaystyle{ P(x)=F(x)Q(x)+ax+b\\
\begin{cases} P(i)=0+ai+b \\ P(-i)=0+a(-i)+b \end{cases}\\
\begin{cases} a=... \\ b=... \end{cases} }\)

[bartekw2213]

\(\displaystyle{ P(x)=F(x)Q(x)+ax+b\\
\begin{cases} P(i)=0+ai+b \\ P(-i)=0+a(-i)+b \end{cases}\\
\begin{cases} a=... \\ b=... \end{cases} }\)

1) Z tego co rozumiem reszta powinna być stopnia mniejszego niż Q(x), więc powinna wyglądać następująco \(\displaystyle{ ax + b}\). Czemu tak nie będzie wyglądać?
2) Nawet jeśli przyjmę, że resztą powinna być liczba zespolona, to skąd wzięła się postać \(\displaystyle{ ai + b}\), a nie zaś \(\displaystyle{ x + yi}\)?

[kerajs]

1) Z tego co rozumiem reszta powinna być stopnia mniejszego niż Q(x), więc powinna wyglądać następująco ax + b. Czemu tak nie będzie wyglądać?

Przecież właśnie tak ona wygląda!
\(\displaystyle{ \frac{P(x)}{Q(x)}=F(x)+ \frac{R(x)}{Q(x)}\\
\frac{P(x)}{Q(x)}=F(x)+ \frac{ax+b}{Q(x)}\\
P(x)=F(x)Q(x)+ax+b}\)

2) Nawet jeśli przyjmę, że resztą powinna być liczba zespolona, to skąd wzięła się postać ai + b, a nie zaś x + yi?

Skąd pomysł, że reszta jest zespolona?

Rozwiązanie układu daje resztę: \(\displaystyle{ R(x)=4x}\)