Niech \(\displaystyle{ \textbf{A}(\textbf{r})}\) będzie wektorem o stałym kierunku. Udowodnić, że \(\displaystyle{ rot \textbf{A}}\) jest wektorem ortogonalnym do \(\displaystyle{ \textbf{A}}\). Pokazać najpierw, że \(\displaystyle{ \varepsilon_{ijk}k_jk_k=0}\), gdzie\(\displaystyle{ kj}\) jest składową dowolnego wektora.
Jeśli \(\displaystyle{ rot \textbf{A}}\) i \(\displaystyle{ \textbf{A}}\) są ortogonalne, to ich iloczyn skalarny wynosi 0:
\(\displaystyle{ rot \textbf{A} \cdot \textbf{A} = 0 = a_i\varepsilon_{iqr}\frac{\partial a_r}{\partial x_q}}\)
Nie wiem jak wykorzystać podaną w zadaniu własność.
Dowód ortogonalności tensorów
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Dowód ortogonalności tensorów
W zapisie operatorowym:
Wektor o stałym kierunku - ortogonalność rotacji
lub używając symbol Levi-Civita \(\displaystyle{ \varepsilon_{ikl} }\)
Jeśli \(\displaystyle{ [k_{1}, k_{2}, k_{3}] =: rot[(A(\vec{r})], }\)
to z definicji rotacji jako iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ k_{i} = \varepsilon_{i k l}r_{k} r_{l} }\) i \(\displaystyle{ r_{i}k_{i} = r_{i}\varepsilon_{i k l} r_{k} r_{l} = 0, }\)
wobec antysymetrii we wskaźnikach \(\displaystyle{ i, k }\) oraz faktu, że iloczyn \(\displaystyle{ r_{i} r_{k} }\) jest wyrażeniem symetrycznym we wskaźnikach \(\displaystyle{ i, k.}\)
Wektor o stałym kierunku - ortogonalność rotacji
lub używając symbol Levi-Civita \(\displaystyle{ \varepsilon_{ikl} }\)
Jeśli \(\displaystyle{ [k_{1}, k_{2}, k_{3}] =: rot[(A(\vec{r})], }\)
to z definicji rotacji jako iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ k_{i} = \varepsilon_{i k l}r_{k} r_{l} }\) i \(\displaystyle{ r_{i}k_{i} = r_{i}\varepsilon_{i k l} r_{k} r_{l} = 0, }\)
wobec antysymetrii we wskaźnikach \(\displaystyle{ i, k }\) oraz faktu, że iloczyn \(\displaystyle{ r_{i} r_{k} }\) jest wyrażeniem symetrycznym we wskaźnikach \(\displaystyle{ i, k.}\)