Dopuszczalne wartości zmiennych z daną nierównością

[Pedroslawiusz]

Uczę się, żeby napisać dobrze test kwalifikacyjny z matematyki na początku studiów, żeby być w grupie dla bystrzaków.

W jednym z poprzednich testów jest takie zadanie:

\(\displaystyle{ [x ^{2} + y^{2} \le 2x]}\)
Rozpatrując wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y spełniające tę nierówność, jaka jest maksymalna wartość następujących wyrażeń:
\(\displaystyle{ [x; y; x^{2} + y^{2}; x+y]}\)

Doszedłem już do tego, że te wartości to kolejno 2, 1 i 4, ale do ostatniej, x+y, nie wiem jak się zabrać, bo wszystkie moje pomysły nigdzie mnie nie zaprowadziły. Maksymalna wartość x+y powinna być równa \(\displaystyle{ [1+ \sqrt{2}]}\) i nawet wiedząc to, nie mam pojęcia jak do tego dojść.

Pomożecie?

[Dasio11]

Wskazówka: podstaw \(\displaystyle{ x' = x-1}\).

[JHN]

Nierówność
\(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} \le 2x}\)
opisuje pewne koło...
Rozpatrz wzajemne położenie tego koła i prostej \(\displaystyle{ x+y=m}\), dla \(\displaystyle{ m\in \RR}\),0
i wybierz największą z wartości \(\displaystyle{ m}\), dla której koło z okręgiem nie są rozłączne

Pozdrawiam
PS. To również hint do wcześniejszych podpunktów. Robiłeś inaczej?

[Pedroslawiusz]

Nierówność
\(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} \le 2x}\)
opisuje pewne koło...
Rozpatrz wzajemne położenie tego koła i prostej \(\displaystyle{ x+y=m}\), dla \(\displaystyle{ m\in \RR}\),0
i wybierz największą z wartości \(\displaystyle{ m}\), dla której koło z okręgiem nie są rozłączne

Pozdrawiam
PS. To również hint do wcześniejszych podpunktów. Robiłeś inaczej?

W ogóle nie wpadłem na interpretację geometryczną. Pierwsze 3 podpunkty wyszły szybko jak dodałem i odjąłem \(\displaystyle{ 1}\), żeby mieć \(\displaystyle{ (x-1)^2}\). Dzięki wielkie.

[janusz47]

Nierówność

\(\displaystyle{ x^2 +y^2 \leq 2x }\)

opisuje koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1,0) }\) i promieniu \(\displaystyle{ 1 }\) wraz z brzegiem, to jest zbiór:

\(\displaystyle{ \mathcal{K} = \{ (x,y) \in \RR^2: ( x -1)^2 + y^2 \leq 1 \}.}\)

Proszę wykonać rysunek.

Znajdziemy kolejno wartości maksymalne wyrażeń należących do zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{K}:}\)

1.

\(\displaystyle{ x , y = 0 }\)

\(\displaystyle{ (x - 1)^2 \leq 1 }\)

\(\displaystyle{ |x -1| \leq 1 }\)

\(\displaystyle{ -1 \leq x-1 \leq 1 }\)

\(\displaystyle{ 0 \leq x \leq 2 }\)

\(\displaystyle{ x_{max} = 2. }\)

2.

\(\displaystyle{ y(x) = \pm \sqrt{1 -(x-1)^2} }\)

\(\displaystyle{ y_{max} = y(1) = \sqrt{1 - (1-1)^2} = 1. }\)

3.

\(\displaystyle{ w = x^2 + y^2 = max }\)

przy ograniczeniu:

\(\displaystyle{ (x-1)^2 + y^2 \leq 1 }\)

Znajdujemy maksimum wyrażenia \(\displaystyle{ w }\) wewnątrz koła - wzdłuż jego średnicy \(\displaystyle{ S. }\)

\(\displaystyle{ S = \{ (x ,0): \ \ 0 \leq x \leq 2 \} }\)

\(\displaystyle{ w_{1}(x) = x^2 +0^2 = x^2, \ \ 0 \leq x \leq 2 }\)

\(\displaystyle{ w_{max} = 2^2 = 4. }\)

Potwierdzimy ten wynik, znajdując maksimum globalne funkcji:

\(\displaystyle{ f(x,y) = x^2 +y^2, }\)

przy ograniczeniu:

\(\displaystyle{ (x -1)^2 + y^2 \leq 1. }\)

metodą mnożników Lagrange'a.

Funkcja Lagrange'a:

\(\displaystyle{ L(x,y, \lambda ) = x^2 +y^2 +\lambda[ (x-1)^2 + y^2 -1] }\)

\(\displaystyle{ L'_{|x}(x,y) = 2x +2\lambda (x-1),}\)

\(\displaystyle{ L'_{|y}(x,y) = 2y +2\lambda y,}\)

\(\displaystyle{ L'_{|\lambda }(x, y) = (x -1)^2 +y^2 -1. }\)

Otrzymaliśmy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x +2\lambda (x-1) = 0 \\ 2y +2\lambda y =0 \\ (x-1)^2 +y^2 -1 =0 \end{cases}}\)

Z pierwszego i drugiego równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{\lambda}{\lambda +1}, \\ y = 0\end{cases} }\)

Podstawiamy te wartości do równania trzeciego układu, otrzymując

\(\displaystyle{ \left(\frac{\lambda}{\lambda +1} -1 \right)^2 + 0^2 = 1}\)

Stąd \(\displaystyle{ \lambda = -2. }\)

Podstawiając tą wartość do równania pierwszego, mamy

\(\displaystyle{ 2x + 2(-2)(x-1) = 0, \ \ x = 2. }\)

Pozostało jeszcze sprawdzenie czy w punkcie \(\displaystyle{ (2, 0) }\) funkcja L agrange'a ma maksimum globalne.

W tym celu znajdujemy macierz drugiej różniczki funkcji Lagrange'a dla \(\displaystyle{ \lambda = -2. }\)

\(\displaystyle{ L^{''}_{|x|x}(x,y, -2) = 2 + 2\lambda_{\lambda=-2} = 2 + 2\cdot(-2) = -2.}\)

\(\displaystyle{ L^{''}_{|x|y} (x,y, -2) = L^{''}_{|y|x }(x, y, -2 ) = 0.}\)

\(\displaystyle{ L^{''}_{|y|y}(x,y, -2) = 2 + 2\lambda|_{\lambda=-2} = 2 + 2\cdot(-2) = -2.}\)

Macierz drugiej różniczki funkcji Lagrange'a

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] }\)

jest ujemnie określona, więc w punkcie \(\displaystyle{ (2, 0) }\) funkcja ma maksimum globalne \(\displaystyle{ L_{max} = L(2, 0,-2 ) = 2^2 +0^2 = 4.}\)

4.

Znaleźć

\(\displaystyle{ w_{2} = x + y = max }\)

przy ograniczeniu:

\(\displaystyle{ (x-1)^2 + y^2 \leq 1}\)

Stosując metodę mnożników Lagrange'a jak w punkcie 3 ,

otrzymujemy kolejno:

\(\displaystyle{ L( x,y, \lambda) = x + y + \lambda [(x -1)^2 + y^2 - 1 ] }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 + 2\lambda(x-1) = 0 \\ 1 + 2\lambda y = 0 \\ (x- 1)^2 + y^2 = 1\end{cases} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ (x-1) = -\frac{1}{2 \lambda}, \ \ y = -\frac{1}{2\lambda} }\)

\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2\lambda} \right)^2 + \left(- \frac{1}{2\lambda} \right)^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = \frac{-1}{\sqrt{2}}, \ \ \lambda_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} }\)

\(\displaystyle{ x^{*} = 1 + \frac{1}{2\lambda} = 1 + \frac{1}{2\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} }\)

\(\displaystyle{ y^{*}= \frac{1}{2\lambda} = \frac{1}{2\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)

\(\displaystyle{ x^{*} + y^{*} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} }\)

Należałoby jeszcze sprawdzić, czy macierz drugiej różniczki funkcji Lagrange'a jest ujemnie określona?

Jest ujemnie określona dla \(\displaystyle{ \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2}}\) - proszę sprawdzić.

Zadanie z testu kwalifikacyjnego wymaga innego sposobu rozwiązania niż metoda mnożników Lagrange'a.

Metodę mnożników Lagrange'a na pewno pozna Kol. Pedroslawiusz w dalszym studiowaniu matematyki.

Wykorzystamy pomysł Kol. JHN.

Maksimum wyrażenia \(\displaystyle{ x + y }\) znajduje w punkcie styczność prostej \(\displaystyle{ y = - x + b }\) i półokręgu \(\displaystyle{ y = \sqrt{1 -(x-1)^2} }\) (rysunek)

Zaproponujemy metodę stycznej do półokręgu o równaniu \(\displaystyle{ y = \sqrt{1 -(x-1)^2} }\) (klasa trzecia liceum o profilu- matematyczno-fizycznym).

Równanie tej stycznej

\(\displaystyle{ y = \left[ \sqrt{1 -(x-1)^2}\right]' (x- x_{0}) + y_{0} }\)

Porównujemy współczynniki kierunkowe

\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{1 -(x-1)^2}\right]' = -1 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{-2(x-1)}{2\sqrt{1 -(x-1)^2}} = -1 }\)

\(\displaystyle{ x - 1 = \sqrt{1 - (x-1)^2} }\)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ x' = x -1 }\)

\(\displaystyle{ x' = \sqrt{1- x'^2} }\)

\(\displaystyle{ x'_{1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} }\) , lub \(\displaystyle{ x'_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)

\(\displaystyle{ x^{*} = x_{0} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \ y^{*} = y_{0} = \sqrt{1 - \left(1 +\frac{\sqrt{2}}{2} -1\right)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.}\)

Równanie stycznej ma postać

\(\displaystyle{ y = -\left( x - \frac{\sqrt{2}}{2} -1\right ) + \frac{\sqrt{2}}{2}.}\)

Maksimum wyrażenia

\(\displaystyle{ \max_{(x-1)^2 +y^2 \leq 1}\left[ x+ y \right ] = x^{*} + y^{*} = 1 +\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 +\sqrt{2}. }\)

[Jan Kraszewski]

Wszystko świetnie, ale jeśli poprawnie się domyślam, to jest to test dla osób rozpoczynających studia, więc mnożniki Lagrange'a nie wchodzą w grę...

Chodzi właśnie o spostrzegawczość, a nie o rachunki.

JK

[janusz47]

Zgadzam się z Tobą.

Dlatego napisałem

"Zadanie z testu kwalifikacyjnego wymaga innego sposobu rozwiązania niż metoda mnożników Lagrange'a.

Metodę mnożników Lagrange'a na pewno pozna Kol. Pedroslawiusz w dalszym studiowaniu matematyki."

Zastosowałem metodę równania stycznej, którą autor postu powinien znać.

Na pewno są jeszcze metody, które wymagają więcej spostrzegawczości niż rachunków.