Jak znaleźć macierz przekształcenia liniowego mając przekształcenie liniowe oraz podaną jedną bazę
-
karol96
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 5 wrz 2020, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 24
- Podziękował: 2 razy
Jak znaleźć macierz przekształcenia liniowego mając przekształcenie liniowe oraz podaną jedną bazę
Potrafię znaleźć macierz przekształcenia liniowego gdy mam przekształcenie liniowe oraz bazę dziedziny i przeciwdziedziny. Czy ktoś mógłby opisać jak się liczy macierz przekształcenia liniowego mając tylko jedna bazę? Która jest to wtedy baza: dziedziny czy przeciwdziedziny? Przykład takiego zadania: viewtopic.php?t=414963 Dziękuję
-
AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Jak znaleźć macierz przekształcenia liniowego mając przekształcenie liniowe oraz podaną jedną bazę
Ale w przykładzie masz podane informacje o obu bazach:
Choć faktycznie jeśli się już czepiać, to tam powinna być liczba mnoga (bazACH kanonicznych). Baza kanoniczna czyli wektory złożone z zer i jednej jedynki na odpowiednim miejscu. Mam nadzieję, że wiesz o co chodzi. W ogólności jeśli w zadaniu nie ma podanej informacji o bazach (albo nie jest to jasne z kontekstu) to macierzy nie znajdziesz.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Jak znaleźć macierz przekształcenia liniowego mając przekształcenie liniowe oraz podaną jedną bazę
Jeśli mamy macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ A }\) i nie mówimy o bazach, to przyjmujemy, że jest to macierz w bazach (liczba mnoga) standardowych (kanonicznych).
Ogólnie macierz przekształcenia (odwzorowania) liniowego może być zapisana w bazach niestandardowych (niekanonicznych) \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{B'} }\) lub w bazach: kanonicznej i niekanonicznej (lub odwrotnie). Bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \ \ \mathcal{B'} }\) muszą być podane.
\(\displaystyle{ T(\vec{v}) = A_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}\cdot [\vec{v}]_{\mathcal{B}} = [T(\vec{v})]_{\mathcal{B'}} }\)
Jeżeli obie bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \ \ \mathcal{B'} }\) są standardowe, to macierz odwzorowania oznaczamy symbolem \(\displaystyle{ A }\) (j.w.).
Aby wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ A_{\mathcal{B}, \mathcal{B'}} }\) postępujemy analogicznie jak przy wyznaczaniu macierzy standardowej, to znaczy wartości odwzorowania \(\displaystyle{ T }\) dla wektorów z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) zapisujemy jako wektory kolumnowe współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B'}.}\)
Macierz, której kolumnami są tak otrzymane wektory jest szukaną macierzą.
Ogólnie macierz przekształcenia (odwzorowania) liniowego może być zapisana w bazach niestandardowych (niekanonicznych) \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{B'} }\) lub w bazach: kanonicznej i niekanonicznej (lub odwrotnie). Bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \ \ \mathcal{B'} }\) muszą być podane.
\(\displaystyle{ T(\vec{v}) = A_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}\cdot [\vec{v}]_{\mathcal{B}} = [T(\vec{v})]_{\mathcal{B'}} }\)
Jeżeli obie bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \ \ \mathcal{B'} }\) są standardowe, to macierz odwzorowania oznaczamy symbolem \(\displaystyle{ A }\) (j.w.).
Aby wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ A_{\mathcal{B}, \mathcal{B'}} }\) postępujemy analogicznie jak przy wyznaczaniu macierzy standardowej, to znaczy wartości odwzorowania \(\displaystyle{ T }\) dla wektorów z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) zapisujemy jako wektory kolumnowe współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B'}.}\)
Macierz, której kolumnami są tak otrzymane wektory jest szukaną macierzą.