Odwzorowania

[denyse]

Wskazać przykład odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4}\), które spełnia równość \(\displaystyle{ \text{ker } T=\text{im } T}\) oraz uzasadnić, że nie istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ S: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\), które spełniałoby równość \(\displaystyle{ \text{ker } S=\text{im } S}\).

[Jan Kraszewski]

I z czym dokładnie masz problem?

JK

[denyse]

Mam problem ze wskazaniem przykładu odwzorowania liniowego, które spełnia powyższą równość.

Wiem, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) są przestrzeniami liniowymi nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) i \(\displaystyle{ T: V \rightarrow W}\) jest odwzorowaniem liniowym, to jądrem tego odwzorowania jest zbiór wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) przekształcanych na wektor zerowy przestrzeni \(\displaystyle{ W}\), natomiast obrazem odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) jest obraz zbioru \(\displaystyle{ V}\) poprzez odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\).

Pierwszą myślą było \(\displaystyle{ T(v_1,v_2,v_3,v_4)=(0,0,0,0)}\), wtedy \(\displaystyle{ \text{ker }T=\mathbb{R}^4}\), a \(\displaystyle{ \text{im } T=\{(0,0,0,0)\}}\).
Później pomyślałam o \(\displaystyle{ T(v_1,v_2,v_3,v_4)=(v_1,v_2,v_3,v_4)}\), lecz w tym przypadku obrazem jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), a jądrem wektor zerowy.

Jeśli chodzi o drugą część zadania, to domyślam się, że może chodzić o to, by skorzystać z twierdzenia, które mówi, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\)
są przestrzeniami liniowymi i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) jest skończony, \(\displaystyle{ T: V \rightarrow W}\) jest odwzorowaniem liniowym, to \(\displaystyle{ \text{dim } V = \text{dim im }T+\text{dim ker }T}\).

[Jan Kraszewski]

Jeśli chodzi o drugą część zadania, to domyślam się, że może chodzić o to, by skorzystać z twierdzenia, które mówi, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\)
są przestrzeniami liniowymi i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) jest skończony, \(\displaystyle{ T: V \rightarrow W}\) jest odwzorowaniem liniowym, to \(\displaystyle{ \text{dim } V = \text{dim im }T+\text{dim ker }T}\).

Tak. Dokładnie z tego samego korzystasz w pierwszym i dostajesz, że \(\displaystyle{ \text{dim im }T=\text{dim ker }T=2}\), zatem np. \(\displaystyle{ T(v_1,v_2,v_3,v_4)=(v_1,v_2,0,0).}\)


JK

[denyse]

Czyli jeśli \(\displaystyle{ \text{dim im }T=\text{dim ker }T}\), to z tego wynika, że \(\displaystyle{ \text{im }T=\text{ker }T}\)?
W takim przypadku równie dobrze można podać jako przykład \(\displaystyle{ T(v_1,v_2,v_3,v_4)=(0,0,v_3,v_4)}\)?

[Jan Kraszewski]

Czyli jeśli \(\displaystyle{ \text{dim im }T=\text{dim ker }T}\), to z tego wynika, że \(\displaystyle{ \text{im }T=\text{ker }T}\)?

Nie, no skąd. Przecież w moim przykładzie
\(\displaystyle{ \text{ker }T=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in\RR^4:v_1=v_2=0\}\\
\text{im }T=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in\RR^4:v_3=v_4=0\}}\)
To są różne podprzestrzenie \(\displaystyle{ \RR^4}\).

W takim przypadku równie dobrze można podać jako przykład \(\displaystyle{ T(v_1,v_2,v_3,v_4)=(0,0,v_3,v_4)}\)?

Tak.

JK

[denyse]

Czyli jeśli \(\displaystyle{ \text{dim im }T=\text{dim ker }T}\), to z tego wynika, że \(\displaystyle{ \text{im }T=\text{ker }T}\)?

Nie, no skąd. Przecież w moim przykładzie
\(\displaystyle{ \text{ker }T=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in\RR^4:v_1=v_2=0\}\\
\text{im }T=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in\RR^4:v_3=v_4=0\}}\)
To są różne podprzestrzenie \(\displaystyle{ \RR^4}\).

Czyli w takim razie nie jest to przykład, który spełnia podaną w zadaniu równość \(\displaystyle{ \text{ker }T=\text{im }T}\)?
Jak zatem go znaleźć?

[a4karo]

Przeprowadź dwa pierwsze wektory na zero a pozostałe dwa na dwa pierwsze

[Jan Kraszewski]

Czyli w takim razie nie jest to przykład, który spełnia podaną w zadaniu równość \(\displaystyle{ \text{ker }T=\text{im }T}\)?

Masz rację, przepraszam. Przeczytałem coś innego, niż jest napisane i oto efekt...

JK