Dzień dobry!
Mam do rozwiązania następujące zadanie:
Wyznacz macierz ortogonalną A, wykorzystując jej własności wierszy i kolumn jako wektorów – rozpocznij od danego wektora \(\displaystyle{ w_{1} }\) – kandydata na pierwszy wiersz konstruowanej macierzy.
\(\displaystyle{ w_{1} = (2,0,1) }\)
Myślałem, żeby wyznaczyć dwa wektory prostopadłe do podanego, a następnie przekształcić wszystkie wektory na wektory jednostkowe ale nie jestem pewien czy przyjąłem dobry tok rozumowania.
Nie istnieje macierz ortogonalna której pierwszym wierszem jest ten wektor, bo to nie jest wektor jednostkowy.
A ogólnie: macierz kwadratowa jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze są parami prostopadłe i mają długość jeden, a także wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny są parami prostopadłe i mają długość jeden.
Dasio11 pisze: ↑13 sie 2020, o 19:22
Nie istnieje macierz ortogonalna której pierwszym wierszem jest ten wektor, bo to nie jest wektor jednostkowy.
To jest tylko kandydat na pierwszy wiersz (nie każdy kandydat na studenta zostaje studentem...). Ale jak go znormalizujemy, to może jeszcze coś z niego będzie...
Istotnie jest to tylko kandydat, bo z podanych wyżej powodów żadna szanująca się macierz ortogonalna nie przyjęłaby go na swój pierwszy wiersz (o drugim ani tym bardziej trzecim nie wspominając). Ale z którego fragmentu polecenia wynika, że kandydata wolno modyfikować? I dlaczego właśnie przez normalizację, a nie na przykład przez wyzerowanie pierwszej współrzędnej?
Dasio11 pisze: ↑13 sie 2020, o 19:49Ale z którego fragmentu polecenia wynika, że kandydata wolno modyfikować?
No z żadnego (kandydatów na studia też nie modyfikujemy, tylko przyjmujemy albo odrzucamy), ale starałem się ratować sytuację...
Dasio11 pisze: ↑13 sie 2020, o 19:49I dlaczego właśnie przez normalizację, a nie na przykład przez wyzerowanie pierwszej współrzędnej?
Normalizacja przynajmniej zachowuje jakieś pozo..., jakieś podobieństwo - w zasadzie taki sam, tylko krótszy. A takie wyzerowanie współrzędnej to zupełnie niehumanitarne podejście.
Jan Kraszewski pisze: ↑13 sie 2020, o 19:29(nie każdy kandydat na studenta zostaje studentem...)
Jan Kraszewski pisze: ↑13 sie 2020, o 22:36(kandydatów na studia też nie modyfikujemy, tylko przyjmujemy albo odrzucamy)
Może warto by raz na jakiś czas zrobić sobie przerwę w rozpatrywaniu kandydatur na studia, bo później potrafią one całkiem zdominować zasób porównań używanych podczas dyskusji na trochę inny jednak temat. ;P
Znalazłem prostopadłe wektory \(\displaystyle{ w_{2}, w_{3} }\) w taki sposób, że dobrałem dowolnie dwie pierwsze współrzędne (byleby obydwie nie były zerami), a trzecią wyliczyłem z iloczynu skalarnego.
Przyjąłem takie dane:
\(\displaystyle{ w_{2} = \left[1, 0, x\right] }\), w tym przypadku \(\displaystyle{ x = -2 }\) \(\displaystyle{ w_{3} = \left[0, 2, y\right] }\), a w tym \(\displaystyle{ y = 0 }\)
Później wpisałem wiersze kolejno do macierzy i transponowałem, żeby sprawdzić czy po pomnożeniu \(\displaystyle{ A \cdot A^{T} }\) otrzymam \(\displaystyle{ A \cdot A^{T} = I }\).
Wynik się zgadzał.
