dowód wektory ortogonalne

[Sabina1]

Jest dane zadanie: Endomorfizm przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) ma w pewnej bazie macierz symetryczną i dwie różne wartości własne Pokazać, że odpowiadające im wektory własne są ortogonalne (prostopadłe)

Mam pytanie, ponieważ zrobiłam ten dowód w następujący sposób:

Opisałam co to jest macierz symetryczna oraz zapisałam warunek za pomocą transpozycji: \(\displaystyle{ A=A ^{T}.}\)
niech \(\displaystyle{ \alpha_{1} \neq \alpha_{2} }\) będą wartościami własnymi,
niech \(\displaystyle{ A x_{1} =\alpha_{1} \cdot x_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ A x_{2} =\alpha_{2} \cdot x_{2}}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2}}\) są wektorami własnymi)
Wtedy przy użyciu iloczynu skalarnego mamy:
\(\displaystyle{ 0=(A x_{1}, A ^{T}x _{2} )=(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2})=\alpha_{1} \alpha_{2}(x_{1},x_{2})=0}\), więc \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2})=0}\).
Zatem wektory te są ortogonalne. (zapis po przecinku, to inne oznaczenie iloczynu skalarnego).

I teraz moje pytanie: czy jest to prawidłowo rozpisane?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ 0=(A x_{1}, A ^{T}x _{2} )=(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2})=\alpha_{1} \alpha_{2}(x_{1},x_{2})=0}\), więc \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2})=0}\).

Skąd wynika pierwsza równość?

Poza tym - dobrze przepisałaś polecenie? W obecnej formie stwierdzenie jest fałszywe.

[Sabina1]

tak, treść jest przepisana dobrze

[Dasio11]

A więc w treści jest błąd i mogę tylko przypuszczać, że brakującym założeniem jest ortogonalność owej bazy, w której macierz jest symetryczna.