Jest dane zadanie: Endomorfizm przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) ma w pewnej bazie macierz symetryczną i dwie różne wartości własne Pokazać, że odpowiadające im wektory własne są ortogonalne (prostopadłe)
Mam pytanie, ponieważ zrobiłam ten dowód w następujący sposób:
Opisałam co to jest macierz symetryczna oraz zapisałam warunek za pomocą transpozycji: \(\displaystyle{ A=A ^{T}.}\)
niech \(\displaystyle{ \alpha_{1} \neq \alpha_{2} }\) będą wartościami własnymi,
niech \(\displaystyle{ A x_{1} =\alpha_{1} \cdot x_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ A x_{2} =\alpha_{2} \cdot x_{2}}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2}}\) są wektorami własnymi)
Wtedy przy użyciu iloczynu skalarnego mamy:
\(\displaystyle{ 0=(A x_{1}, A ^{T}x _{2} )=(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2})=\alpha_{1} \alpha_{2}(x_{1},x_{2})=0}\), więc \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2})=0}\).
Zatem wektory te są ortogonalne. (zapis po przecinku, to inne oznaczenie iloczynu skalarnego).
I teraz moje pytanie: czy jest to prawidłowo rozpisane?
dowód wektory ortogonalne
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 6 cze 2020, o 17:42
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
dowód wektory ortogonalne
Ostatnio zmieniony 26 cze 2020, o 01:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: dowód wektory ortogonalne
Skąd wynika pierwsza równość?
Poza tym - dobrze przepisałaś polecenie? W obecnej formie stwierdzenie jest fałszywe.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: dowód wektory ortogonalne
A więc w treści jest błąd i mogę tylko przypuszczać, że brakującym założeniem jest ortogonalność owej bazy, w której macierz jest symetryczna.