Znaleźć rząd i korząd odwzorowania liniowego

[studentka_1]

Znajdź rząd i korząd odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f: \RR_3[x]\rightarrow \RR^3}\) zdefiniowanego za pomocą wzoru
\(\displaystyle{ f(p)=[p'(2)-3p(0),5p(1)+4p(-1),p(2)-p'(0)]}\).
Czy to odwzorowanie jest in-, sur-, bijekcja? Uzasadnij.

Podobny temat umieściłam tu wczoraj jednak nie jest to dla mnie bułka z masłem i jeszcze mi się miesza ;(
Wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ Ker(f)=Span_R[1,-1/5,-41/5,1]}\) i skoro jego wymiar to \(\displaystyle{ 1}\), to korząd również równy \(\displaystyle{ 1}\),
\(\displaystyle{ Im(f)=Span_R([12,1,8],[4,9,4],[1,1,1],[-3,9,1])}\) i tu troche się gubie już jeśli chodzi o rząd i wymiar
Czy mógłby mnie ktoś naprowadzić?

[Janusz Tracz]

Ponieważ \(\displaystyle{ \text{Ker}\left( f\right) \subseteq \RR_3\left[ x\right] }\) to zapis:

\(\displaystyle{ Ker(f)=Span_R[1,-1/5,-41/5,1]}\) i skoro jego wymiar to 1, to korząd również równy 1,

należało by wyjaśnić bo elementami napisanego przez Ciebie zbiory nie są wieloaminy. Należy napisać:

\(\displaystyle{ \text{Ker}\left( f\right) = \left\{ p:f(p)= \vec{0} \right\} = \left\{ s\left( 5x^3-x^2-41x+5\right) : s\in\RR\right\} =\text{span} \left\{ 5x^3-x^2-41x+5 \right\} }\)

Zatem jądro zawiera jeden wektor\wielomian więc \(\displaystyle{ \dim \text{Ker}\left( f\right)=1 }\) i jeśli przez korząd rozumiesz wymiar jądra to właśnie go policzyliśmy. Jeśli o obraz chodzi to sytuacja jest analogiczna musisz jednak zadbać aby zbiór generujący obraz był bazą. Aktualnie na pewno nie jest bo masz zbiór \(\displaystyle{ 4}\) wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ 3}\) wymiarowej.

[studentka_1]

Szczerze mówiąc, nie rozumiem tego rozpięcia przy jądrze skąd się to wzięło? A jeśli chodzi o obraz, to mam zapisać jako span i wykreślić jeden dowolny wektor ( bo sprawdziłam, że wszystkie dowolne 3 spośród nich są liniowo niezależne)?

[Janusz Tracz]

Szczerze mówiąc, nie rozumiem tego rozpięcia przy jądrze skąd się to wzięło?

Elementami jądra są takie elementy z \(\displaystyle{ \RR_3\left[ x\right] }\) czyli wielomiany które przejdą na wektor zerowy \(\displaystyle{ \RR^3}\) jak podziała na nie \(\displaystyle{ f}\). To jest napisane w pierwszej równości. Druga równość bierze się stąd, że wiozłem wielomian \(\displaystyle{ p}\) i sprawdziłem jakie musi mieć współczynniki by \(\displaystyle{ f(p)=0}\) czyli by był w jądrze. A potem zbiór takich wielomianów sparametryzowanych parametrem \(\displaystyle{ s}\) zapisałem. Ogólnie to Twoją odpowiedź dało by się wybronić gdyby uznać, że na wielomiany \(\displaystyle{ \RR_3\left[ x\right] }\) patrzymy przez pryzmat izomorfizmu z \(\displaystyle{ \RR^4}\) danego \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d\mapsto \left[ a,b,c,d\right] }\). Wtedy \(\displaystyle{ \left[ 1,- \frac{1}{5} ,-\frac{41}{5},1\right] \in\RR^4}\) znaczy (ze względy na ten izomorfizm) tyle co wielomian \(\displaystyle{ x^3-\frac{1}{5}x^2-\frac{41}{5}x+1}\). Zauważ, że ja właśnie z takiego wielomianu wygenerowałem \(\displaystyle{ \text{Ker} \left( f\right) }\) tylko pozbyłem się ułamków mnożąc przez \(\displaystyle{ 5}\). Ale formalnie podkreślę jeszcze raz, że nie badasz jądra \(\displaystyle{ f^*:\RR^4 \rightarrow \RR^3}\) tylko \(\displaystyle{ f:\RR_3\left[ x\right] \rightarrow \RR^3 }\) więc w jądrze muszą znaleźć się elementy z \(\displaystyle{ \RR_3\left[ x\right] }\).

A jeśli chodzi o obraz, to mam zapisać jako span i wykreślić jeden dowolny wektor ( bo sprawdziłam, że wszystkie dowolne 3 spośród nich są liniowo niezależne)?

Jeśli sprawdziłaś, że trzy dowolne wektory są niewspółliniowe to możesz zrobić tak jak piszesz. Ja obliczeń nie sprawdzam.

[studentka_1]

Dziękuję bardzo! Wszystko stało się jaśniejsze!