jądro i obraz odwzorowania liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
studentka_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 cze 2020, o 21:17
Płeć: Kobieta
wiek: 20

jądro i obraz odwzorowania liniowego

Post autor: studentka_1 »

Opisz jądro i obraz odwzorowania liniowego f: \(\displaystyle{ \RR_2[x]\rightarrow \RR^3}\) zdefiniowanego za pomocą wzoru:
\(\displaystyle{ f(p)=[p'(2)-3p(0),5p(1)+4p(-1),p(2)-p'(0)]}\).
Czy to odwzorowanie jest in-, sur-, bijekcją? Uzasadnij.

Wyliczyłam \(\displaystyle{ \ker(f)}\) i wyszło, że to wielomian stale równy \(\displaystyle{ 0}\), nastomiast \(\displaystyle{ \Im(f)}\) to \(\displaystyle{ Span_R\{[4,9,4],[1,1,1],[3,9,1]\}}\) i nie do końca jestem pewna czy dobrze i co z drugą częścią zadania, a konkretniej in-, sur-, bijekcją? Wydaje mi się ze skoro \(\displaystyle{ \Im(f)=\RR^3}\) to odwzorowanie jest surjekcją, ale co dalej? :(
Ostatnio zmieniony 19 cze 2020, o 21:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: jądro i obraz odwzorowania liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

studentka_1 pisze: 19 cze 2020, o 21:32Wyliczyłam \(\displaystyle{ \ker(f)}\) i wyszło, że to wielomian stale równy \(\displaystyle{ 0}\),
Raczej singleton wielomianu zerowego.

Wychodzi na to, że masz luki w wiedzy ogólnej. Co to znaczy, że jądro odwzorowania liniowego jest trywialne (czyli jego jedynym elementem jest wektor zerowy)?

JK
studentka_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 cze 2020, o 21:17
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: jądro i obraz odwzorowania liniowego

Post autor: studentka_1 »

Znaczy to, że wymiar przestrzeni wektorowej tego jądra jest równy 0? Niestety pare braków mam i próbuję je teraz nadrobić.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: jądro i obraz odwzorowania liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

studentka_1 pisze: 19 cze 2020, o 21:54 Znaczy to, że wymiar przestrzeni wektorowej tego jądra jest równy 0?
No tak, ale nie o to chodzi.

Jeżeli jądro jest trywialne, to odwzorowanie jest injekcją. Prosty dowód tego faktu: ustalmy dowolne dwa argumenty \(\displaystyle{ u,v}\) takie, że \(\displaystyle{ f(u)=f(v)}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ f(u)-f(v)=0,}\) czyli (z liniowości) \(\displaystyle{ f(u-v)=0}\), czyli \(\displaystyle{ u-v\in\ker f}\). Ale skoro jądro jest trywialne, to \(\displaystyle{ u-v=0}\), czyli \(\displaystyle{ u=v}\), co kończy dowód.

Tak naprawdę mamy nie tylko wynikanie, ale nawet równoważność (bo \(\displaystyle{ f(0)=0}\) i jeśli funkcja jest injekcją, to nic innego nie przechodzi na \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ \ker f=\{0\}}\)).

JK
studentka_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 cze 2020, o 21:17
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: jądro i obraz odwzorowania liniowego

Post autor: studentka_1 »

Czyli podsumowując, odwzorowanie jest injekcją, surjekcją i bijekcją?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: jądro i obraz odwzorowania liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak. Jeżeli odwzorowanie liniowe jest injekcją pomiędzy przestrzeniami tego samego wymiaru skończonego, to musi być bijekcją.

JK
studentka_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 cze 2020, o 21:17
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: jądro i obraz odwzorowania liniowego

Post autor: studentka_1 »

Dziękuję bardzo za odpowiedź i pozdrawiam serdecznie!
ODPOWIEDZ