Punkty stałe przekształcenia afinicznego, a wartości własne części liniowej

[pasjonat_matematyki]

Dzień dobry

Miałbym prośbę o wyjaśnienie mi jednej rzeczy związanej z tym zadaniem.

Wykazać, że przekształcenie afiniczne\(\displaystyle{ f:E \rightarrow E}\), gdzie \(\displaystyle{ dimE < \infty}\), ma dokładnie jeden punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy część liniowa tego przekształcenia nie ma wektorów własnych o wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\).

Oto jak je rozwiązywałem:
1) Załóżmy, że istnieje więcej niż jeden punkt stały: \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p+ \vec{u}}\). \(\displaystyle{ \vec{u} \neq 0}\). Wiadomo, że\(\displaystyle{ f(p+ \vec{u} ) = f(p) + A \vec{u}}\). Przy czym \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą części liniowej.
Zatem \(\displaystyle{ f(p+ \vec{u} ) = p + \vec{u}}\), \(\displaystyle{ f(p) = p}\).
\(\displaystyle{ p + \vec{u} = p + A \vec{u}}\), \(\displaystyle{ \vec{u} = A \vec{u}}\).
Mamy zatem wektor własny \(\displaystyle{ \vec{u} }\) o wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\).
2) Załóżmy, że istnieje tylko jeden punkt stały. \(\displaystyle{ f(p) = p}\). Dla każdego innego punktu:\(\displaystyle{ f(p + \vec{u} ) \neq p + \vec{u}}\), \(\displaystyle{ \vec{u} \neq 0}\).
Zatem: \(\displaystyle{ f(p) + A \vec{u} \neq p + \vec{u}}\). \(\displaystyle{ p + A \vec{u} \neq p + \vec{u}}\), \(\displaystyle{ A \vec{u} \neq \vec{u}}\). Ponieważ wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) został wybrany dowolnie, więc nie znajdziemy takiego wektora własnego, dla którego \(\displaystyle{ A \vec{u} = \vec{u}}\). Czyli wektora własnego o wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\).

Dostałem informację zwrotną, że brakuje dowodu, że punkt stały w ogóle istnieje. Zupełnie nie wiem, jak się do tego zabrać. Czy mógłby ktoś pomóc?

pozdrawiam

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ f(p) = Ap + v}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ f}\) ma dokładnie jeden punkt stały
\(\displaystyle{ \Updownarrow}\)
równanie \(\displaystyle{ Ap+v = p}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Updownarrow}\)
równanie \(\displaystyle{ (A-I) p = -v}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Updownarrow}\)
\(\displaystyle{ \det(A-I) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Updownarrow}\)
\(\displaystyle{ \ker (A-I) = \{ 0 \}}\)
\(\displaystyle{ \Updownarrow}\)
\(\displaystyle{ A}\) nie ma wektorów własnych dla wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\).

[pasjonat_matematyki]

Trochę nie rozumiem zapisu: \(\displaystyle{ Ap}\). Mnożymy macierz przez punkt?
Widzę, że przedstawiłeś już całe rozwiązanie. Która jego część jest tym dowodem, którego zabrakło w moim rozwiązaniu?

pozdrawiam

[Dasio11]

W algebrze liniowej najczęściej utożsamia się punkty z wektorami, więc \(\displaystyle{ p}\) jest wektorem. Chyba że w kontekście Twojego zadania punkty odróżnia się od wektorów, to wtedy podaj dokładniej, co to za kontekst. A brakującej części dowodzą oczywiście implikacje do góry, czyli:

\(\displaystyle{ A}\) nie ma wektorów o wartości własnej \(\displaystyle{ 1 \implies f}\) ma dokładnie jeden punkt stały \(\displaystyle{ \implies f}\) ma pewien punkt stały.