Równość wielomianu minimalnego i charakterystycznego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Shigon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 mar 2008, o 22:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Równość wielomianu minimalnego i charakterystycznego

Post autor: Shigon »

Witam,

Chciałbym prosić o pomoc z zadaniem:

Wykaż, że wielomian minimalny pokrywa się z wielomianem charakterystycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdej wartości własnej macierzy odpowiada dokładnie jedna klatka Jordana (skorzystaj z postaci kanonicznej Jordana i wykaż, że największy wspólny dzielnik minorów stopnia n-1 jest równy 1).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równość wielomianu minimalnego i charakterystycznego

Post autor: janusz47 »

Dowód twierdzenia wynika z dwóch lemtów:

- o równości wartości własnych wielomianów minimalnego \(\displaystyle{ m(x) }\) i wielomianu charakterystycznego \(\displaystyle{ c(x), }\)

- o podzielności wielomianu charakterystycznego \(\displaystyle{ c_{\mathcal{A}} }\) przez wielomian minimalny \(\displaystyle{ m_{\mathcal{A}}, }\)

oraz twierdzenia o postaci kanonicznej Jordana macierzy \(\displaystyle{ \mathcal{A}. }\)

Niech

\(\displaystyle{ c_{\mathcal{A}}(x) = (x-\lambda_{1})^{c_{1}} (x-\lambda_{2})^{c_{2}} \dots (x -\lambda_{n})^{c_{n}} }\)

\(\displaystyle{ m_{\mathcal{A}}(x) = (x -\lambda_{1})^{m_{1}}(x -\lambda_{2})^{m_{2}}\dots (x - \lambda_{n})^{m_{n}}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ 1 \leq m_{i} \leq c_{i} }\)


\(\displaystyle{ [c_{\mathcal{A}}(x) \equiv m_{\mathcal{A}}(x)] \leftrightarrow [c_{i} = m_{i} ], \ \ i = 0,1,2,...,m \ \ (1) }\)

Równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ \mathcal{A} }\) w postaci kanonicznej Jordana ma pojedynczą \(\displaystyle{ \lambda_{i} - }\) klatkę \(\displaystyle{ J(n, a)}\) - podobną do macierzy stowarzyszonej o wielomianie charakterystycznym \(\displaystyle{ p(\lambda) = (\lambda - a)^{n} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{J}(a, n) = \left [\begin{matrix} a & 1& 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0& a& 1& 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 0 & a &1& \dots &0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & a &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & 0 & a \end{matrix}\right] }\)


\(\displaystyle{ c_{\mathcal{J}}(\lambda) = m_{\mathcal{J}}(\lambda) = (\lambda - a)^{n} }\)

Macierz \(\displaystyle{ aI - \mathcal{J} }\) ma jedynkę w pierwszym wierszu nad główną przekątną, więc równość

\(\displaystyle{ ( aI - \mathcal{J} ) \cdot \vec{v} = 0 }\) zachodzi dla wektora

\(\displaystyle{ \vec{v} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 &0 \end{matrix} \right]^{T} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \dim(E_{a}) = 1. }\)
ODPOWIEDZ