Baza i wymiar przetrzeni rozwiązań układu równań Gaussem

[duaword]

Z układu równań przekształconego na macierz

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+y+z+t=0\\
x+-2y+z+2t=0\\
3x-y-2z+t=0\end{cases}}\)

wyliczyłem
\(\displaystyle{ x= \frac{3}{5} a_{1} }\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{5} a_{1} + a_{2} }\)
\(\displaystyle{ z = a_{1} }\)
\(\displaystyle{ t = a_{2} }\)

I teraz z tego mam wyliczyć baze i wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań.

[pkrwczn]

Za dużo tam liter. Mamy trzy zmienne \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\) i jeden parametr \(\displaystyle{ t}\).

Ogólne rozw. układu \(\displaystyle{ x= \frac{1}{4}t}\), \(\displaystyle{ y= \frac{5}{4}t}\), \(\displaystyle{ z= \frac{-3}{4}t}\). Stąd baza \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}\\\frac{-3}{4}\end{array}\right]}\). Interpretacja baz jest tu taka, że każda ich kombinacja liniowa generuje rozwiązanie układu. Baza jest jedna więc kombinacja liniowa to po prostu pomnożenie przez dowolną stałą.

Jedna baza oznacza też wymiar przestrzeni rozwiązań układu równa się jeden.

[Janusz Tracz]

Za dużo tam liter. Mamy trzy zmienne \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\) i jeden parametr \(\displaystyle{ t}\).

Ogólne rozw. układu \(\displaystyle{ x= \frac{1}{4}t}\), \(\displaystyle{ y= \frac{5}{4}t}\), \(\displaystyle{ z= \frac{-3}{4}t}\).

Jak położę \(\displaystyle{ t=4}\) to pierwsze równanie będzie wyglądać tak: \(\displaystyle{ 2+5-3+4}\) a to nie jest zero. Rozwiązaniem tego układu jest zbiór:

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ t
\end{bmatrix} \in\RR^4 : x,y,z,t \text{ spełniają układ równań} \right\} = \left\{ \begin{bmatrix}
-1 \\ 1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix} \alpha : \alpha \in\RR \right\} = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix}
-1 \\ 1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix} \right\} }\)

Zatem widać co jest bazą i ile ma elementów (co stanowi wymiar).

[duaword]

Przepraszam, wkradł się błąd.

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+y+z-t=0\\
x-2y+z+2t=0\\
3x-y+2z+t=0\end{cases}}\)

wyliczyłem
\(\displaystyle{ x= \frac{3}{5} a_{1} }\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{5} a_{1} + a_{2} }\)
\(\displaystyle{ z = a_{1} }\)
\(\displaystyle{ t = a_{2} }\)

[pkrwczn]

Przepraszam za wprowadzanie w błąd. Nie przeczytałem dokładnie. Moja wina.