Witam wszystkich, dopiero zaczynam z matematyką na takim poziomie, jest to dla mnie czarna magia, czy pomógłby mi ktoś w obliczeniu wyznacznika macierzy 4x4 ?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &8 &-6 &9 \\
-1 &7 &-4 &7 \\
-2 &3 &-2 & 4 \\
3 &1 &-3 &9
\end{bmatrix}
}\)
Obliczenie następującego wskaźnika
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Obliczenie następującego wskaźnika
\(\displaystyle{ 1)}\) Wybierz metodę którą chcesz to policzyć. Polecam
\(\displaystyle{ 2)}\) Wybierz dowolny wiersz lub kolumnę macierzy względem której będziesz rozwijał proponuję pierwszy wiersz. Potem możesz spróbować inaczej. Potem możesz też wynikać operacje elementarne na wierszach i kolumnach (tego robić nie będę ale ogólnie warto).
\(\displaystyle{ 3)}\) Zaznaczmy jak na szachownicy (to wyłącznie na potrzeby nauki abyś widział co jest czym)
\(\displaystyle{ 4)}\) zapisujemy zgodnie ze schematem wykreślając zawsze odpowiedni wiersz i kolumnę:
\(\displaystyle{ 5)}\) Zauważ, że znaki przy czerwonych liczbach zostały niezmienione a przy niebieskich zmieniają się na przeciwny.
\(\displaystyle{ 6)}\) Pozostały do policzenia \(\displaystyle{ 4}\) wyznaczniki ale już tylko \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) co można uczynić dokładnie tak samo. Co pozostawię Ci jako ćwiczenie.
Kod: Zaznacz cały
https://obliczone.pl/zadania/macierze/wyznacznik-macierzy/382-zad-12\(\displaystyle{ 2)}\) Wybierz dowolny wiersz lub kolumnę macierzy względem której będziesz rozwijał proponuję pierwszy wiersz. Potem możesz spróbować inaczej. Potem możesz też wynikać operacje elementarne na wierszach i kolumnach (tego robić nie będę ale ogólnie warto).
\(\displaystyle{ 3)}\) Zaznaczmy jak na szachownicy (to wyłącznie na potrzeby nauki abyś widział co jest czym)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \begin{bmatrix}
\red{2} & \blue{8} &\red{-6} &\blue{9} \\
-1 &7 &-4 &7 \\
-2 &3 &-2 & 4 \\
3 &1 &-3 &9
\end{bmatrix}
}}\)
\red{2} & \blue{8} &\red{-6} &\blue{9} \\
-1 &7 &-4 &7 \\
-2 &3 &-2 & 4 \\
3 &1 &-3 &9
\end{bmatrix}
}}\)
\(\displaystyle{ 4)}\) zapisujemy zgodnie ze schematem wykreślając zawsze odpowiedni wiersz i kolumnę:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \begin{bmatrix}
\red{2} & \blue{8} &\red{-6} &\blue{9} \\
-1 &7 &-4 &7 \\
-2 &3 &-2 & 4 \\
3 &1 &-3 &9
\end{bmatrix}
} =
\left( \red{+2}\right) \displaystyle{ \begin{bmatrix}
7 &-4 &7 \\
3 &-2 & 4 \\
1 &-3 &9
\end{bmatrix}
+\left( \blue{-8}\right) \displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 &-4 &7 \\
-2 &-2 & 4 \\
3 &-3 &9
\end{bmatrix}
}
+ \left( \red{-6}\right) \displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 &7 &7 \\
-2 &3 & 4 \\
3 &1 &9
\end{bmatrix}
}
+ \left( \blue{-9}\right)
\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 &7 &-4 \\
-2 &3 &-2 \\
3 &1 &-3
\end{bmatrix}
}
} }\)
\red{2} & \blue{8} &\red{-6} &\blue{9} \\
-1 &7 &-4 &7 \\
-2 &3 &-2 & 4 \\
3 &1 &-3 &9
\end{bmatrix}
} =
\left( \red{+2}\right) \displaystyle{ \begin{bmatrix}
7 &-4 &7 \\
3 &-2 & 4 \\
1 &-3 &9
\end{bmatrix}
+\left( \blue{-8}\right) \displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 &-4 &7 \\
-2 &-2 & 4 \\
3 &-3 &9
\end{bmatrix}
}
+ \left( \red{-6}\right) \displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 &7 &7 \\
-2 &3 & 4 \\
3 &1 &9
\end{bmatrix}
}
+ \left( \blue{-9}\right)
\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 &7 &-4 \\
-2 &3 &-2 \\
3 &1 &-3
\end{bmatrix}
}
} }\)
\(\displaystyle{ 5)}\) Zauważ, że znaki przy czerwonych liczbach zostały niezmienione a przy niebieskich zmieniają się na przeciwny.
\(\displaystyle{ 6)}\) Pozostały do policzenia \(\displaystyle{ 4}\) wyznaczniki ale już tylko \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) co można uczynić dokładnie tak samo. Co pozostawię Ci jako ćwiczenie.
-
Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Obliczenie następującego wskaźnika
Zaczynamy od macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &8 &-6 &9 \\
-1 &7 &-4 &7 \\
-2 &3 &-2 & 4 \\
3 &1 &-3 &9
\end{bmatrix}
}\)
wyznacznik nie zmienia się, jeśli dodajemy do wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę. Dlatego dodajmy pierwszą kolumnę do trzeciej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &8 &-4 &9 \\
-1 &7 &-5 &7 \\
-2 &3 &-4 & 4 \\
3 &1 & 0 &9
\end{bmatrix}
}\)
trzecią dodajmy do drugiej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &4 &-4 &9 \\
-1 &2 &-5 &7 \\
-2 &-1 &-4 & 4 \\
3 &1 & 0 &9
\end{bmatrix}
}\)
odejmijmy od czwartej pierwszą - trzy razy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &4 &-4 &3 \\
-1 &2 &-5 &10 \\
-2 &-1 &-4 & 10 \\
3 &1 & 0 &0
\end{bmatrix}
}\)
odejmijmy od pierwszej drugą - trzy razy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-10 &4 &-4 &3 \\
-7 &2 &-5 &10 \\
1 &-1 &-4 & 10 \\
0 &1 & 0 &0
\end{bmatrix}
}\)
Teraz wykonujemy eliminację wg ostatniego wiersza.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-10 &-4 &3 \\
-7 &-5 &10 \\
1 &-4 & 10 \\
\end{bmatrix}
}\)
Odejmijmy od trzeciego wiersza pierwszy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-10 &-4 &3 \\
-7 &-5 &10 \\
11 &0 & 7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Odejmijmy od pierwszego drugi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-3 &1 &-7 \\
-7 &-5 &10 \\
11 &0 & 7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Dodajmy do drugiego pierwszy - pięć razy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-3 &1 &-7 \\
-22 &0 &-25 \\
11 &0 & 7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Rozwijamy względem drugiej kolumny - zmieniamy wszędzie znaki.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
22 & 25 \\
-11 & -7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Korzystamy ze znanego wzoru: \(\det = 22 \cdot (-7) - 25 \cdot (-11) = -121\). Zależy od macierzy, czasami możemy łatwo uzyskać dużo zer w jednej kolumnie lub wierszu i przyspieszyć obliczenia.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &8 &-6 &9 \\
-1 &7 &-4 &7 \\
-2 &3 &-2 & 4 \\
3 &1 &-3 &9
\end{bmatrix}
}\)
wyznacznik nie zmienia się, jeśli dodajemy do wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę. Dlatego dodajmy pierwszą kolumnę do trzeciej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &8 &-4 &9 \\
-1 &7 &-5 &7 \\
-2 &3 &-4 & 4 \\
3 &1 & 0 &9
\end{bmatrix}
}\)
trzecią dodajmy do drugiej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &4 &-4 &9 \\
-1 &2 &-5 &7 \\
-2 &-1 &-4 & 4 \\
3 &1 & 0 &9
\end{bmatrix}
}\)
odejmijmy od czwartej pierwszą - trzy razy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 &4 &-4 &3 \\
-1 &2 &-5 &10 \\
-2 &-1 &-4 & 10 \\
3 &1 & 0 &0
\end{bmatrix}
}\)
odejmijmy od pierwszej drugą - trzy razy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-10 &4 &-4 &3 \\
-7 &2 &-5 &10 \\
1 &-1 &-4 & 10 \\
0 &1 & 0 &0
\end{bmatrix}
}\)
Teraz wykonujemy eliminację wg ostatniego wiersza.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-10 &-4 &3 \\
-7 &-5 &10 \\
1 &-4 & 10 \\
\end{bmatrix}
}\)
Odejmijmy od trzeciego wiersza pierwszy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-10 &-4 &3 \\
-7 &-5 &10 \\
11 &0 & 7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Odejmijmy od pierwszego drugi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-3 &1 &-7 \\
-7 &-5 &10 \\
11 &0 & 7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Dodajmy do drugiego pierwszy - pięć razy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-3 &1 &-7 \\
-22 &0 &-25 \\
11 &0 & 7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Rozwijamy względem drugiej kolumny - zmieniamy wszędzie znaki.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
22 & 25 \\
-11 & -7 \\
\end{bmatrix}
}\)
Korzystamy ze znanego wzoru: \(\det = 22 \cdot (-7) - 25 \cdot (-11) = -121\). Zależy od macierzy, czasami możemy łatwo uzyskać dużo zer w jednej kolumnie lub wierszu i przyspieszyć obliczenia.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Obliczenie następującego wskaźnika
Dla sprawdzenia rachunków możesz obliczyć ten wyznacznik w Excelu, korzystając z funkcji Wyznacznik Macierzy. Wychodzi rzeczywiście -121. 
-
Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Obliczenie następującego wskaźnika
Albo Wolframalpha:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Det%5B%7B%7B2%2C8%2C-6%2C9%7D%2C%7B-1%2C7%2C-4%2C7%7D%2C%7B-2%2C3%2C-2%2C4%7D%2C%7B3%2C1%2C-3%2C9%7D%7D%5D