Przekształcenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Sabina1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 6 cze 2020, o 17:42
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Przekształcenie liniowe

Post autor: Sabina1 »

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ g: \RR ^{3} \rightarrow \RR^{3}}\) jest określone w następujący sposób: \(\displaystyle{ g((x,y,z))=(2x+y-z, y-x+3z, x-2y+3z)}\). Wyznaczyć jądro odwzorowania. Czy mogłabym prosić o pomoc, chodzi mi głównie o poprawny zapis obliczania jądra.
Ostatnio zmieniony 7 cze 2020, o 12:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przekształcenie liniowe

Post autor: a4karo »

Napisz czym jest jądro i rozwiąż stosowny układ równań. I używaj `\LaTeX a`
Sabina1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 6 cze 2020, o 17:42
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Przekształcenie liniowe

Post autor: Sabina1 »

Wiem, wiem, układ zapisałam tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-z=0 \\
-x+y+3z=0\\
x-2y+3z=0 \end{cases}}\)


Następnie odejmuję stronami i mam:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-z=0\\
-y+6z=0
\end{cases}}\)


czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=6z \\
x= \frac{5}{2}z
\end{cases}}\)

i teraz pytanie: czy zapisuję to jako: \(\displaystyle{ Ker=(x,y,x) \in\RR^3 : g(x,y,z)=( \frac{5}{2}z, 6z,z)}\), czy \(\displaystyle{ Ker=(x,y,x) \in\RR^3 : g(x,y,z)=(0,0,0)}\)?
Ostatnio zmieniony 7 cze 2020, o 13:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex]. Poprawa wiadomości: \in.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przekształcenie liniowe

Post autor: a4karo »

To pierwsze na pewno nie, przecież `\Ker\ g=\{(x,y,z): g(x,y,z)=0\}` więc nie może być `g(x,y,z)=(5/2z,6z,z)`, nieprawdaż?

Drugie jest ok, ale to tylko definicja, a nie rozwiązanie.

`\Ker\ g=\{(5/2z.6z,z): z\in\RR\}`
Sabina1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 6 cze 2020, o 17:42
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Przekształcenie liniowe

Post autor: Sabina1 »

Czyli okazuje się, że nie wyliczamy konkretnych wartości dla \(\displaystyle{ x,y}\) i \(\displaystyle{ z}\), tylko przedstawiamy je za pomocą jednej zmiennej, w tym przypadku \(\displaystyle{ z}\).
Czy może okazać sie, ze \(\displaystyle{ x=0, y=0, z=0}\), więc po przedstawieniu za pomocą jednej zmiennej będzie \(\displaystyle{ Ker=(0,0,0)}\)?
Ostatnio zmieniony 7 cze 2020, o 13:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przekształcenie liniowe

Post autor: a4karo »

Może tak być i powinnaś wiedzieć kiedy tak będzie
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przekształcenie liniowe

Post autor: Dasio11 »

Sabina1 pisze: 7 cze 2020, o 12:06 Wiem, wiem, układ zapisałam tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-z=0 \\
-x+y+3z=0\\
x-2y+3z=0 \end{cases}}\)


Następnie odejmuję stronami i mam:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-z=0\\
-y+6z=0
\end{cases}}\)


czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=6z \\
x= \frac{5}{2}z
\end{cases}}\)
Po pierwsze, w równości \(\displaystyle{ x = \frac{5}{2} z }\) brakuje minusa. Po drugie, po poprawce ostatni układ równań jest tylko konsekwencją pierwszego, ale nie jest z nim równoważny, o czym świadczy trójka \(\displaystyle{ (x, y, z) = (-5, 12, 2)}\).

Poprawnym rozwiązaniem układu jest

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}}\)

a więc \(\displaystyle{ \operatorname{ker} g = \{ (0, 0, 0) \}}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przekształcenie liniowe

Post autor: a4karo »

I uwierz tu człowieku...
ODPOWIEDZ