Wektory w przestrzeni liniowej

[JohnnyK]

Hej,
mam podaną pewną przestrzeń liniową \(\displaystyle{ S}\) i polecenie: Czy istnieją wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4,v_5}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\) takie, że \(\displaystyle{ S = Lin(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)}\)?.
Jak mam w ogóle zabrać się za to zadanie?
Jeśli będzie trzeba dodam dokładne równania z \(\displaystyle{ S}\), ale zależy mi głównie na metodzie, bo szczerze mówiąc jestem trochę bezradny...

Z góry dzięki za pomoc.

[Dasio11]

Jeśli \(\displaystyle{ S \le \RR^5}\), to odpowiedź jest zawsze pozytywna, niezależnie od tego jaką dokładnie przestrzenią jest \(\displaystyle{ S}\).

[matmatmm]

Jeśli chodzi o dowód tej własności, opiera się on na fakcie, że dowolna podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \RR^k}\) ma bazę. Fakt ten dowodzimy następująco: Zbiór

\(\displaystyle{ \{n\in\NN_0: \text{Istnieje } n \text{ wektorów liniowo niezależnych należących do }S \}}\)

jest niepusty i ograniczony z góry. Każdy taki podzbiór liczb naturalnych ma element największy.

Co do metody szukania, jest ona ukryta w tym dowodzie. Jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest zerowa, to ma bazę (pustą). Jeśli jest niezerowa, to ma element niezerowy \(\displaystyle{ v_1\in S}\). Jeśli \(\displaystyle{ S=\mathrm{lin}(v_1)}\), to \(\displaystyle{ \{v_1\}}\) jest bazą. Jeśli nie, to istnieje element \(\displaystyle{ v_2\in S, v_2\notin\mathrm{lin}(v_1) }\) itd.

Dla konkretnego \(\displaystyle{ S}\) musisz dokładać po jednym wektorze i sprawdzać za każdym razem, czy powstała baza. Jeśli nie, to powinieneś uzyskiwać kolejne wektory liniowo niezależne.