Hej,
mam podaną pewną przestrzeń liniową \(\displaystyle{ S}\) i polecenie: Czy istnieją wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4,v_5}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\) takie, że \(\displaystyle{ S = Lin(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)}\)?.
Jak mam w ogóle zabrać się za to zadanie?
Jeśli będzie trzeba dodam dokładne równania z \(\displaystyle{ S}\), ale zależy mi głównie na metodzie, bo szczerze mówiąc jestem trochę bezradny...
Z góry dzięki za pomoc.
Wektory w przestrzeni liniowej
Wektory w przestrzeni liniowej
Ostatnio zmieniony 2 cze 2020, o 12:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wektory w przestrzeni liniowej
Jeśli \(\displaystyle{ S \le \RR^5}\), to odpowiedź jest zawsze pozytywna, niezależnie od tego jaką dokładnie przestrzenią jest \(\displaystyle{ S}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Wektory w przestrzeni liniowej
Jeśli chodzi o dowód tej własności, opiera się on na fakcie, że dowolna podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \RR^k}\) ma bazę. Fakt ten dowodzimy następująco: Zbiór
\(\displaystyle{ \{n\in\NN_0: \text{Istnieje } n \text{ wektorów liniowo niezależnych należących do }S \}}\)
jest niepusty i ograniczony z góry. Każdy taki podzbiór liczb naturalnych ma element największy.
Co do metody szukania, jest ona ukryta w tym dowodzie. Jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest zerowa, to ma bazę (pustą). Jeśli jest niezerowa, to ma element niezerowy \(\displaystyle{ v_1\in S}\). Jeśli \(\displaystyle{ S=\mathrm{lin}(v_1)}\), to \(\displaystyle{ \{v_1\}}\) jest bazą. Jeśli nie, to istnieje element \(\displaystyle{ v_2\in S, v_2\notin\mathrm{lin}(v_1) }\) itd.
Dla konkretnego \(\displaystyle{ S}\) musisz dokładać po jednym wektorze i sprawdzać za każdym razem, czy powstała baza. Jeśli nie, to powinieneś uzyskiwać kolejne wektory liniowo niezależne.
\(\displaystyle{ \{n\in\NN_0: \text{Istnieje } n \text{ wektorów liniowo niezależnych należących do }S \}}\)
jest niepusty i ograniczony z góry. Każdy taki podzbiór liczb naturalnych ma element największy.
Co do metody szukania, jest ona ukryta w tym dowodzie. Jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest zerowa, to ma bazę (pustą). Jeśli jest niezerowa, to ma element niezerowy \(\displaystyle{ v_1\in S}\). Jeśli \(\displaystyle{ S=\mathrm{lin}(v_1)}\), to \(\displaystyle{ \{v_1\}}\) jest bazą. Jeśli nie, to istnieje element \(\displaystyle{ v_2\in S, v_2\notin\mathrm{lin}(v_1) }\) itd.
Dla konkretnego \(\displaystyle{ S}\) musisz dokładać po jednym wektorze i sprawdzać za każdym razem, czy powstała baza. Jeśli nie, to powinieneś uzyskiwać kolejne wektory liniowo niezależne.