wyznacznik macierzy

[2szeba]

Obliczyć wartość wyznacznika macierzy: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 &2 &3 &4 &\dots &n-1 &n \\
n &1 &2 &3 &\dots &n-2 &n-1 \\
n-1&n &1 &2 &\dots &n-3 &n-2 \\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
3 &4 &5 &6 &\dots &1 &2 \\
2 &3 &4 &5 &\dots &n &1
\end{bmatrix}}\) Jakieś pomysły?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 &2 &3 &4 &\dots &n-1 &n \\
n &1 &2 &3 &\dots &n-2 &n-1 \\
n-1&n &1 &2 &\dots &n-3 &n-2 \\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
2 &3 &4 &5 &\dots &n &1
\end{bmatrix} }\)

Zauważmy, że suma elementów w każdym wierszu wyznacznika wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n(n+1). }\)

Do pierwszej kolumny dodajemy pozostałe kolumny:

\(\displaystyle{ \left| \begin{matrix}
\frac{n(n+1)}{2} &2 &3 &4 &\dots &n-1 &n \\
\frac{n(n+1)}{2}&1 &2 &3 &\dots &n-2 &n-1 \\
\frac{n(n+1)}{2}&n &1 &2 &\dots &n-3 &n-2 \\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
\frac{n(n+1)}{2} &3 &4 &5 &\dots &n &1
\end{matrix} \right| }\)

Wyciągamy wspólną pierwszą kolumną przed wyznacznik.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}{n(n+1)} \left| \begin{matrix}
1 &2 &3 &\dots &n-1 &n \\
1 &1 &2 &\dots &n-2 &n-1 \\
1 & n &1 &\dots &n-3 & n-2 \\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \vdots &\vdots \\
1 &3 &4 &\dots &n &1
\end{matrix} \right| }\)

Mnożymy pierwszą kolumnę przez \(\displaystyle{ -k}\) i dodajemy do \(\displaystyle{ k }\)-tej kolumny dla \(\displaystyle{ k = 2,3,...,n.}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}{n(n+1)} \left| \begin{matrix}
1 &0 &0 &0 &\dots &0 &0 \\
1 &-1 &-1 &-1 &\dots &-1 & -1 \\
1&n-2 &-2 & -2\dots &\dots &-2 & -2 \\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 &1 &1 &1 &\dots &1 &1-n
\end{matrix} \right| }\)

Rozwijamy wyznacznik według pierwszego wiersza

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}{n(n+1)} \left| \begin{matrix}
-1 &-1 & -1 &\dots &-1 &-1 \\
n-2 &-2 & -2\dots &-2 \dots &-2 & -2 \\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\
1 &1 &1 &\dots &1 &1-n
\end{matrix} \right| }\)

Pierwszą kolumnę odejmujemy od pozostałych kolumn
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}{n(n+1)} \left| \begin{matrix}
-1 &0 & 0 &\dots &0 & 0 \\
n-2 & -n &-n &\dots &-n &-n \\
n-3 & 0 &-n &\dots & -n & -n\\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \vdots &\vdots\\
1 &0 &0 &\dots &0 &-n
\end{matrix} \right| = \frac{1}{2}n(n+1)\cdot (-1)^{n-1}n^{n-2} = (-1)^{n-1}\frac{(n+1)}{2}n^{n-1}. }\)