Nie mogę za bardzo pojąć pewnego rozwiązania problemu nagrzanej płytki z książki "Wstęp do algebry" Kostrikina.
Treść:
Przypuśćmy, że płaska prostokątna płytka z trzema otworami służy jako pokrywa w wyimaginowanym urządzeniu do otrzymywania niskich temperatur. Na płytce naniesiono siatkę kwadratową. Wierzchołki siatki leżące na czterech częściach brzegu nazywamy brzegowymi, a pozostałe - wewnętrznymi. Przypuśćmy, że w drodze bezpośrednich pomiarów ustalono, iż przy dowolnym nagrzewaniu lub ochładzaniu płytki temperatura w każdym punkcie wewnętrznym siatki jest średnią arytmetyczną temperatur w czterech sąsiednich punktach, niezależnie od tego, czy są to punkty brzegowe, czy też nie. Oczekuje się, że części urządzenia stykające się z różnymi kawałkami brzegu przekażą im temperaturę wskazaną na rysunku. Czy jest to możliwe, a jeśli tak, to czy rozkład temperatury w punktach wewnętrznych siatki jest wyznaczony jednoznacznie?
Rysunek (coś nie działa możliwość wprowadzenia obrazka, zaraz spróbuję naprawić, w tym czasie dam link):
W rozwiązaniu mam napisane, że punkty wewnętrzne numerujemy dowolnie - od 1 do 416, a punkty brzegowe (również dowolnie) od 417 do 620.
Jeśli przez \(\displaystyle{ t_i}\) oznaczyć temperaturę w wierzchołku o numerze \(\displaystyle{ i}\), to zgodnie z opisem rozkładu temperatury otrzymujemy 416 zależności postaci
\(\displaystyle{ t_e = \frac{t_a + t_b + t_c + t_d}{4}}\). Jeśli na przykład \(\displaystyle{ a, b, c \le 416 \wedge d > 416}\), to równość tę można przepisać w postaci równania liniowego
\(\displaystyle{ -t_a - t_b - t_c + 4t_e = t_d}\), gdzie \(\displaystyle{ t_d = -273, -100, -50, 0, 50, 100, 300}\)
Wszystkie te równania powinny dać układ 416 równań, gdzie współczynniki przy \(\displaystyle{ t_i}\) są równe \(\displaystyle{ 0, -1, 4}\).
Pytanie: Już tutaj czegoś nie rozumiem. Czy wybór \(\displaystyle{ d > 416}\) jest po to, by dostać układ równań, w którym po prawej stronie będzie wiadoma? Po to, byśmy nie musieli przekształcać równania, to jest znów podstawiać za \(\displaystyle{ t_d}\)?
Dalsza część rozwiązania:
Zamiast powyższego układu równań, rozpatrzmy jego układ jednorodny, to jest taki, że po prawej stronie mamy same zera. Innymi słowy przyjmujemy, że temperatura wszystkich punktów brzegowych siatki jest równa zeru. Niech \(\displaystyle{ e}\) będzie numerem punktu wewnętrznego o największej wartości \(\displaystyle{ |t_e|}\). Z warunku
\(\displaystyle{ t_e = \frac{t_a + t_b + t_c + t_d}{4}}\) wynika, że \(\displaystyle{ |t_e| = |t_a| = |t_b| = |t_c| = |t_d|}\).
Poruszając się wzdłuż siatki od punktu \(\displaystyle{ e}\), przechodzimy przez punkty o tej samej wartości \(\displaystyle{ |t_i| = |t_e|}\), dopóki nie dotrzemy do brzegu o zerowej temperaturze. Wobec tego \(\displaystyle{ |t_e| = 0}\), a więc \(\displaystyle{ t_i = 0}\). Więc układ ma tylko jedno rozwiązanie zerowe, a stąd wynika, że układ pierwotny jest układem niesprzecznym i oznaczonym.
Pytanie: Dlaczego z warunku \(\displaystyle{ t_e = \frac{t_a + t_b + t_c + t_d}{4}}\) wynika, że \(\displaystyle{ |t_e| = |t_a| = |t_b| = |t_c| = |t_d|}\)? Kompletnie nie rozumiem tego wniosku. Tak samo dlaczego poruszając się wzdłuż siatki od punkty \(\displaystyle{ e}\), to przechodzimy przez punkty o tej samej wartości \(\displaystyle{ |t_i| = |t_e|}\)?
Dodano po 19 godzinach 32 minutach 56 sekundach:
Z niewielką pomocą udało mi się dojść do rozwiązania problemu. Napiszę rozwiązanie dla potomnych, na pewno ktoś kiedyś będzie tego szukał
Zapiszmy \(\displaystyle{ |t_e| = \frac{|t_a| + |t_b| + |t_c| + |t_d|}{4}}\) jako \(\displaystyle{ |t_e| \ge \frac{|t_a| + |t_b| + |t_c| + |t_d|}{4} \ge |t_e|}\)
I teraz najzwyczajniej w świecie szacujemy:
\(\displaystyle{ |t_e| = \frac{|t_a| + |t_b| + |t_c| + |t_d|}{4} \le \frac{|t_a| + |t_e| + |t_e| + |t_e|}{4} = \frac{|t_a| + 3|t_e|}{4}}\), czyli dostajemy
\(\displaystyle{ |t_e| \le \frac{|t_a| + 3|t_e|}{4} \Leftrightarrow |t_e| \le |t_a|}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ |t_e|}\) jest punktem o największej wartości spośród wszystkich, więc \(\displaystyle{ |t_e| \le |t_a| \le |t_e| \Rightarrow |t_e| = |t_a|}\)
I analogicznie postępujemy dla pozostałych punktów. Stąd też otrzymujemy \(\displaystyle{ |t_e| = |t_a| = |t_b| = |t_c| = |t_d|}\)
