Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
nyctophilia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 mar 2020, o 19:52
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: nyctophilia »

\(\displaystyle{ kx + z = 4}\)
\(\displaystyle{ ky + z = 2}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2y + 2z = 6}\)

Wyszła mi taka macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
k & 0 & 1 & \\
0& k& 1& \\
2& 2& 2&
\end{matrix}
\right| \begin{matrix}
4 \\ 2 \\ 6
\end{matrix}
\end{bmatrix} }\)

Zamieniłam kolumnę 1 z 3, pomnożyłam 1 wiersz *(-1) i dodałam do 2 wiersza, potem pomnożyłam 1 wiersz *(-2) i dodałam do 3 wiersza. Otrzymałam taką macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 & k & \\
0& k& -k& \\
0& 2& -2k+2&
\end{matrix}
\right| \begin{matrix}
4 \\ -2 \\ -2
\end{matrix}
\end{bmatrix} }\)

I w tym miejscu utknęłam, nie wiem co zrobić dalej, żeby otrzymać macierz schodkową.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: Jan Kraszewski »

A nie prościej skorzystać z wyznaczników?

JK
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: JHN »

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
k & 0 & 1 & \\
0& k& 1& \\
2& 2& 2&
\end{matrix}
\right| \begin{matrix}
4 \\ 2 \\ 6
\end{matrix}
\end{bmatrix} }\)

(iii)-(ii)-(i):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
k & 0 & 1 & \\
0& k& 1& \\
2-k& 2-k& 0&
\end{matrix}
\right| \begin{matrix}
4 \\ 2 \\ 0
\end{matrix}
\end{bmatrix} }\)

dla \(\displaystyle{ k\ne 2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
k & 0 & 1 & \\
0& k& 1& \\
1& 1& 0&
\end{matrix}
\right| \begin{matrix}
4 \\ 2 \\ 0
\end{matrix}
\end{bmatrix} }\)

(i)+(ii); dla \(\displaystyle{ k\ne 0}\) (iii)*(-k)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
k & k & 2 & \\
0& k& 1& \\
-k& -k& 0&
\end{matrix}
\right| \begin{matrix}
6 \\ 2 \\ 0
\end{matrix}
\end{bmatrix} }\)

(iii)+(i)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
k & k & 2 & \\
0& k& 1& \\
0& 0& 2&
\end{matrix}
\right| \begin{matrix}
6 \\ 2 \\ 6
\end{matrix}
\end{bmatrix} }\)

i do przekątniowej blisko

Pozdrawiam
PS.
Jan Kraszewski pisze: 11 kwie 2020, o 00:31 A nie prościej skorzystać z wyznaczników?
To bardzo zasadne pytanie!
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} kx + 0y +1z = 4\\ 0x + ky +1z = 2 \\ 2x +2y +2z = 6 \end{cases} }\)

Metoda przekształceń elementarnych

Mnożymy ostatnie równanie układu przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) i tworzymy macierz rozszerzoną układu

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} k & 0 & 1 &4 \\ 0 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} \right] }\)

Wykonujemy przekształcenia elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej układu

\(\displaystyle{ w_{1} \leftrightarrow w_{3} }\)

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 0 & k & 1 & 2 \\ k & 0 & 1 & 4 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w_{3}+ w_{1}\cdot (-k), \ \ k\neq 0 }\)

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 0 & k & 1 & 2 \\ 0 & -k &- k+ 1 &-3k+ 4 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w_{3} + w_{2} }\)

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 0 & k & 1 & 2 \\ 0 & 0 &- k+ 2 &-3k+ 6 \end{matrix} \right] }\)

Z ostatniego wiersza macierzy odczytujemy, że dla

\(\displaystyle{ \begin{cases} -k + 2 = 0 \\ -3k + 6 = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ k = 2 }\) - układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie rozwiązań.

Dla \(\displaystyle{ k \neq 2 \wedge k\neq 0 }\) - układ jest oznaczony - ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przypadek \(\displaystyle{ k = 0 }\) wymaga oddzielnego zbadania, ponieważ przekształcenia elementarne wykonywaliśmy, przy założeniu, że \(\displaystyle{ k \neq 0. }\)

Po podstawieniu do pierwszego i drugiego równania układu \(\displaystyle{ k = 0 }\) stwierdzamy, że układ jest sprzeczny.

Metoda Kramera (wyznacznikowa)

Wyznacznik główny układu

\(\displaystyle{ W = \left| \begin{matrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k &1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = 2k\cdot (k-2) }\)

Wyznaczniki, które powstają po zastąpieniu kolumny - kolumną wyrazów wolnych:

\(\displaystyle{ W_{x} =\left| \begin{matrix} 4 & 0 & 1 \\ 2 & k &1 \\ 6 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = 2(k-2). }\)

\(\displaystyle{ W_{y} =\left| \begin{matrix} k & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 6 & 2 \end{matrix} \right| = -2(k-2). }\)

\(\displaystyle{ W_{z} =\left| \begin{matrix} k & 0 & 4 \\ 0 & k & 2 \\ 2 & 2 & 6 \end{matrix} \right| = 6k \cdot (k-2). }\)

\(\displaystyle{ W = W_{x} = W_{y} = W_{z} = 0 }\) dla \(\displaystyle{ k= 2 }\) - układ nieoznaczony.

\(\displaystyle{ W \neq 0 }\) dla \(\displaystyle{ ( k \neq 2 \wedge k\neq 0 )}\) - układ oznaczony.

\(\displaystyle{ (W = 0 \wedge W_{x} \neq 0) }\) lub \(\displaystyle{ ( W = 0 \wedge W_{y}\neq 0) }\) dla \(\displaystyle{ k = 0 }\) - układ sprzeczny.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 11 kwie 2020, o 11:58

Metoda Kramera (wyznacznikowa)



\(\displaystyle{ W = W_{x} = W_{y} = W_{z} = 0 }\) dla \(\displaystyle{ k= 2 }\) - układ nieoznaczony.

Janusz - kolejna nieprawda.
Układ
\begin{cases} 0x+0y=1\\0x+0y=0\end{cases}
spełnia `W=W_x=W_y=0` ale jest sprzeczny
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} kx + 0y +1z = 4\\ 0x + ky +1z = 2 \\ 2x +2y +2z = 6 \end{cases} }\)

Metoda przekształceń elementarnych

Mnożymy ostatnie równanie układu przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) i tworzymy macierz rozszerzoną układu

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} k & 0 & 1 &4 \\ 0 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} \right] }\)

Wykonujemy przekształcenia elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej układu

\(\displaystyle{ w_{1} \leftrightarrow w_{3} }\)

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 0 & k & 1 & 2 \\ k & 0 & 1 & 4 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w_{3}+ w_{1}\cdot (-k), \ \ k\neq 0 }\)

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 0 & k & 1 & 2 \\ 0 & -k &- k+ 1 &-3k+ 4 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w_{3} + w_{2} }\)

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 0 & k & 1 & 2 \\ 0 & 0 &- k+ 2 &-3k+ 6 \end{matrix} \right] }\)

Z ostatniego wiersza macierzy odczytujemy, że dla

\(\displaystyle{ \begin{cases} -k + 2 = 0 \\ -3k + 6 = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ k = 2 }\) - układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie rozwiązań.

Dla \(\displaystyle{ k \neq 2 \wedge k\neq 0 }\) - układ jest oznaczony - ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przypadek \(\displaystyle{ k = 0 }\) wymaga oddzielnego zbadania, ponieważ przekształcenia elementarne wykonywaliśmy, przy założeniu, że \(\displaystyle{ k \neq 0. }\)

Po podstawieniu do pierwszego i drugiego równania układu \(\displaystyle{ k = 0 }\) stwierdzamy, że układ jest sprzeczny.

Metoda Kramera (wyznacznikowa)

Wyznacznik główny układu

\(\displaystyle{ W = \left| \begin{matrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k &1 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = 2k\cdot (k-2) }\)

Wyznaczniki, które powstają po zastąpieniu kolumny - kolumną wyrazów wolnych:

\(\displaystyle{ W_{x} =\left| \begin{matrix} 4 & 0 & 1 \\ 2 & k &1 \\ 6 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = 2(k-2). }\)

\(\displaystyle{ W_{y} =\left| \begin{matrix} k & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 6 & 2 \end{matrix} \right| = -2(k-2). }\)

\(\displaystyle{ W_{z} =\left| \begin{matrix} k & 0 & 4 \\ 0 & k & 2 \\ 2 & 2 & 6 \end{matrix} \right| = 6k \cdot (k-2). }\)

\(\displaystyle{ W = W_{x} = W_{y} = W_{z} = 0 }\) dla \(\displaystyle{ k= 2 \wedge k\neq 0 }\) - układ nieoznaczony.

\(\displaystyle{ W \neq 0 }\) dla \(\displaystyle{ ( k \neq 2 \wedge k\neq 0 )}\) - układ oznaczony.

\(\displaystyle{ (W = 0 \wedge W_{x} \neq 0) }\) lub \(\displaystyle{ ( W = 0 \wedge W_{y}\neq 0) }\) dla \(\displaystyle{ k = 0 }\) - układ sprzeczny.

Prostsza wydaje się metoda przekształceń elementarnych, aczkolwiek wyznaczniki \(\displaystyle{ 3\times 3 }\) nie sprawiają trudności w obliczeniach.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: a4karo »

Z faktu, że wszystkie wyznaczniki są równe zero nie wynika, że układ jest nieoznaczony i nie zmieni tego przepisywanie tego posta po raz trzeci.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: janusz47 »

Proszę poprawić i nie robić z tego przedstawienia " kolejny raz " "trzy razy" a może dwa razy?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 11 kwie 2020, o 14:08 Proszę poprawić i nie robić z tego przedstawienia " kolejny raz " "trzy razy" a może dwa razy?
Niestety, to Ty robisz z tego przedstawienie. Poprawiłem Twoje argumenty a co Ty zrobiłeś? Opublikowałeś ponownie ten sam post. Kpisz z czytelników czy nie dorosłeś żeby się zmierzyć z własnymi błędami?

Dodano po 7 minutach 38 sekundach:
No i jeszcze jeden kwiatek z tego "rozwiązania"
janusz47 pisze: 11 kwie 2020, o 12:41
\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 0 & k & 1 & 2 \\ 0 & 0 &- k+ 2 &-3k+ 6 \end{matrix} \right] }\)

Z ostatniego wiersza macierzy odczytujemy, że dla

\(\displaystyle{ \begin{cases} -k + 2 = 0 \\ -3k + 6 = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ k = 2 }\) - układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie rozwiązań.
Sugeruje to, że janusz47 wyciąga wniosek o nieoznaczoności układu z postaci trzeciego wiersza. To jest nieuprawnione. Przecież gdyby ukłąd wyglądał tak:

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 &3\\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 &- k+ 2 &-3k+ 6 \end{matrix} \right] }\)

to wniosek o nieoznaczoności tego sprzecznego układu byłby błędny.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: janusz47 »

Co ty człowieku wygadujesz ? Trzeci wiersz byłby przecież równy zeru.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: a4karo »

Nic. Stwierdzam fakty. Zamieściłeś dwa merytorycznie tak samo błędne posty (o 10:58 i 11:41).

Dodano po 1 minucie 31 sekundach:
A w ostatnim poście wskazuję, że powołanie się tylko na postać trzeciego wierzsza jest merytorycznym błedem.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: janusz47 »

Proszę nie popełniać błędu

\(\displaystyle{ \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 &2 & 2 \\ 0 & 0 & -k+2 & -3k+6 \end{matrix} \right ] \neq \left [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 &2 \\ 0 & 0 & -k+2 & -3k + 6 \end{matrix} \right ] }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: a4karo »

A czy ja pisze, że się równa. Nie odniosłeś się w swoim rozumowaniu do całego układu lecz tylko to ostatniego wiersza. To za mało, a mój przykład na to wskazuje. Howgh
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: janusz47 »

Błąd w przepisywaniu postaci macierzy!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Znajdź rozwiązania układu równań w zależności od parametru k

Post autor: a4karo »

To nie jest zdanie w języku polskim
ODPOWIEDZ