Macierze odwrotne

[Aga250909]

Oblicz macierz odwrotną macierzy:
a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin\alpha \\-\sin\alpha &\cos\alpha \end{array}\right]}\)

b) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}\right]}\)

c) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&...&1\\0&1&1&...&1\\0&0&1&...&1\\.&.&.&.&.\\0&0&0&...&1\end{array}\right]}\)

W przykładzie a) wychodzi mi inna odpowiedź niż jest w odpowiedziach na końcu książki. Natomiast dwa pozostałe są macierzami większymi niż \(\displaystyle{ 3\times 3}\) i chciałam się dowiedzieć, czy jest na nie jakiś sposób, bo średnio mi się widzi liczenie wyznacznika, a potem dopełnień algebraicznych.

[Janusz Tracz]

W \(\displaystyle{ a)}\) masz macierz obrotu więc odwrotna do niej jest gdy robisz obrót w drugą stronę czyli gdy \(\displaystyle{ \alpha }\) podmienimy na \(\displaystyle{ - \alpha }\).
W \(\displaystyle{ c)}\) można zacząć od mniejszego przykładu \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) potem \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) widać regule. Macierzą odwrotną to macierz z \(\displaystyle{ 1}\) na głównej przekątnej oraz \(\displaystyle{ -1}\) nad przekątną i wszędzie poza \(\displaystyle{ 0}\).

[Dasio11]

Macierz w (b) podzielona przez dwa jest macierzą izometrii, a dla takich działa wzór \(\displaystyle{ I^{-1} = I^{\top}}\).