Dany jest układ równań z parametrem

[Kristoffer]

Dany jest układ równań, gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{R}}\) jest parametrem.
\(\displaystyle{
\begin{cases}
x + 3y − z + 3t = −2k \\
x + y + z − t = k \\
2x + 3y + z = 1
\end{cases}
}\)

Po zamianie na macierz i wykonaniu kilku przekształceń:
\(\displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -2k\\
0 & -3 & 3 & -6 & \frac{9}{2}k\\
0 & -3 & 3 & -6 & 4k+1
\end{bmatrix}
}\)

Pytanie: Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Jak odpowiedzieć? Ten układ nie może mieć dokładnie jednego rozwiązania, bo rząd macierzy jest różny od \(\displaystyle{ 4}\)?

[janusz47]

Jak wypowiadamy twierdzenie Capelliego-Kroneckera?

Metoda przekształceń elementarnych Gaussa-Jordana - wykonujemy dalsze przekształcenia, sprowadzając macierz rozszerzoną układu do postaci schodkowej.

[Kristoffer]

W trakcie przekształcania macierzy, otrzymałem macierz:
\(\displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -2k\\
0 & -2 & 2 & -4 & 3k\\
0 & -3 & 3 & -6 & 4k+1
\end{bmatrix}
}\)

Przy rozwiązywaniu układu równań zamiana powyższej macierzy na macierz poniżej jest dozwolona? Jak zaznaczyć przejście między tymi macierzami?

\(\displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -2k\\
0 & -3 & 3 & -6 & \frac{9}{2}k\\
0 & -3 & 3 & -6 & 4k+1
\end{bmatrix}
}\)

Dodano po 7 minutach 31 sekundach:

Jak wypowiadamy twierdzenie Capelliego-Kroneckera?

Metoda przekształceń elementarnych Gaussa-Jordana - wykonujemy dalsze przekształcenia, sprowadzając macierz rozszerzoną układu do postaci schodkowej.

A tak, układ równań posiada przynajmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \text{rzA}=\text{rzU}}\).


Dla \(\displaystyle{ \text{k} \neq 2}\):

\(\displaystyle{
\text{rzU}= 3 \\
\text{rzA}=2 \\
\text{rzA} \neq \text{rzU}
}\)

Brak rozwiązań.

Dla \(\displaystyle{ \text{k} = 2}\):

\(\displaystyle{
\text{rzU}= 2 \\
\text{rzA}=2 \\
r = \text{rzA} = \text{rzU} = 2 \\
r < 4
}\)

Nieskończenie wiele rozwiązań.

[a4karo]

Żeby układ nie był sprzeczny musi zachodzić \(\frac92k=4k+1\) (potrafisz wyjaśnić dlaczego?). Zobacz jakie rozwiązania ma w tym przypadku układ. Twoja uwaga o tym, że nie może mieć jednego rozwiązania jest jak najbardziej słuszna

[Kristoffer]

Żeby układ nie był sprzeczny musi zachodzić \(\frac92k=4k+1\) (potrafisz wyjaśnić dlaczego?). Zobacz jakie rozwiązania ma w tym przypadku układ. Twoja uwaga o tym, że nie może mieć jednego rozwiązania jest jak najbardziej słuszna

Kolumny od 1 do przedostatniej to kolumny zmiennych. Skoro współczynniki przy zmiennych są równe, to wynik (ostatnia kolumna) też musi być równy, inaczej rozwiązanie nie ma sensu, czyli brak rozwiązań.

[a4karo]

tak

[Kristoffer]

Mógłby ktoś jeszcze spojrzeć na przekształcenie macierzy z mojego drugiego postu w tym temacie? Jak zaznaczyć to przekształcenie? Mogę tak: pierwszą macierz -> druga macierz?

[a4karo]

Zrobiłeś kilka przekształceń, których nie pokazałeś, więc trudno stwierdzić, czy zrobiłeś to poprawnie (zakładam, że tak).
Po prostu napisz, że mnożysz drugi wiersz przez 3/2

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x +3y -z +3t = -2k \\ x +y + z -t = k\\ 2x +3y +z + 0t =1 \end{cases} }\)

Macierz rozszerzona układu

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 3 & -1 & 3 & -2k \\ 1 & 1 & 1 & -1 & k \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] }\)

Przekształcenia Gaussa - Jordana

\(\displaystyle{ w_{2} - w_{1} , \\ w_{3} -2\cdot w_{1} }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 3 & -1 & 3 & -2k \\ 0 & -2 & 2 & -4 & 3k \\ 0 & -3 & 3 & -6 & 4k+1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w_{2}\cdot \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 3 & -1 & 3 & -2k \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -\frac{3}{2} k \\ 0 & -3 & 3 & -6 & 4k+1 \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ w_{3}+ 3\cdot w_{2} }\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 1 & 3 & -1 & 3 & -2k \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -\frac{3}{2} k \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2}k+1 \end{matrix} \right] }\)

Z ostatniego wiersza macierzy rozszerzonej wynika, że dla \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}k +1 = 0 , \ \ k = 2 }\) - układ równań jest nieoznaczony -
ma nieskończenie wiele rozwiązań, zależnych od dwóch parametrów.

Dla \(\displaystyle{ k \neq 2 }\) - układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.