Matematyka.pl

Dobry wieczór
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego Zasadnicze Twierdzenie algebry oznacza ,że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Czytam dowód i nie rozumiem jak to się wiąże.
Dziękuję za przeczytanie posta.

Szkic: Z Zasadniczego Twierdzenia Algebry oraz twierdzenia Bezouta wynika, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na (zespolone) czynniki liniowe. Inny fakt mówi, że zbiór pierwiastków zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych jest zamknięty na sprzężenie. Wynika stąd, że czynniki liniowe odpowiadające nierzeczywistym pierwiastkom można połączyć w pary postaci \(\displaystyle{ z-a}\) i \(\displaystyle{ z-\overline{a}}\), których wymnożenie daje wielomian \(\displaystyle{ z^2 - 2 \Re(a) z + |a|^2}\), mający rzeczywiste współczynniki.

Czego dokładnie nie rozumiesz?

Może przedstawię problem od początku.
Moim zadaniem jest coś takiego:
Udowodnij, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej
drugiego.

I wiem, że udowadnia się to ZT Algebry, po prostu nie jestem pewien czy jeśli w tym momencie przedstawię dowód tego twierdzenia: Dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ w ∈ C[x] }\)stopnia dodatniego istnieje\(\displaystyle{ λ ∈ C }\)takie, że \(\displaystyle{
w(λ) = 0.}\) to wystarczy?

Dodano po 14 sekundach:
Przepraszam za tak późną odpowiedź

Nie, bo wielomiany o współczynnikach zespolonych nie rozkłądają się na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych (weż sobie np. `(z-1)(z-i)`)

Urok wielomianów o rzeczywistych współczynnikach polega na tym, że ich pierwiastki zespolone układają się parami - pierwiastek i jego sprzężenie.
Udowodnij ten prosty fakt. Iloczyn \((z-\lambda)(z-\overline{\lambda})\) ma współczynniki rzeczywiste

Klaing pisze: ↑16 lut 2020, o 16:46 \(\displaystyle{
(x-zi)(x+zi) = x^2 + z^2}\)

Czego to ma dowieść?

Nie tego, że wszystkie pierwsiatki są kwadratowe i pozbywamy się ewentualnych liczb urojonych?

Pierwiastek nie jest kwadratowy. On jest bardzo kanciasty i spiczasty na dole.




A serio : nie, bo `z^2` zwykle nie jest liczbą rzeczywistą