Macierze spełniające równanie

[Rafcio_srubka]

Witam, proszę o pomoc w poniższym zadaniu:

Podać przykład takich macierzy kwadratowych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) rozmiaru \(\displaystyle{ 2×2}\) o współczynnikach rzeczywistych, że:

\(\displaystyle{ A^{2}=B^{2}=(AB)^4 = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \neq (AB)^{2} }\)

Długo nad tym siedziałem i nie potrafię dobrać takiej macierzy \(\displaystyle{ B}\) żeby równanie było spełnione.

Podejrzewam że trzeba coś pokombinować z macierzą inwolutywną, czyli spełniającą równanie \(\displaystyle{ A^{2}=Id}\)

Pasuje np macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3&2\sqrt{2} \\-2\sqrt{2} &-3\end{array}\right] }\) , ponieważ \(\displaystyle{ A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&0 \\0&1\end{array}\right] }\) oraz \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}7&4\sqrt{3} \\-4\sqrt{3} &-7\end{array}\right] }\) , ponieważ \(\displaystyle{ B^{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&0 \\0&1\end{array}\right] }\).

Ale niestety wtedy \(\displaystyle{ (AB)^{4} \neq Id}\).

Proszę o pomoc, jakąś podpowiedź bo już nie mam pomysłu na to zadanie. To jak szukanie igły w stogu siana.

[Jan Kraszewski]

Pomyśl o tym geometrycznie.

\(\displaystyle{ A^{2}=B^{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

czyli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to np. symetrie osiowe. Wtedy \(\displaystyle{ AB}\) to obrót, trzeba więc tak dobrać osie symetrii, by był to obrót np. o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ (AB)^4 = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

ale

\(\displaystyle{ (AB)^2\ne \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right].}\)

Weźmy zatem \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0&-1\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}}\). Możesz przerachować, czy działa

JK

edit: Chodziło oczywiście o obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}.}\)