Układ równań liniowych z parametrem i warunkiem x>1

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
qrk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 sty 2020, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 1 raz

Układ równań liniowych z parametrem i warunkiem x>1

Post autor: qrk »

Witajcie mam problem z zadaniem. Treśc: Zbadaj dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) , układ równań liniowych ma rozwiązanie,dla którego \(\displaystyle{ x>1}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-az=2\\-ax+y+z=-a\\x-ay+z=0 \end{cases}}\)

No więc poczatkowo postępuje standardowo, sprawdzam kiedy wyznacznik główny jest różny od zera.
\(\displaystyle{ W}\) wychodzi: \(\displaystyle{ -a^{3} +3a+2.\ a_1=-1,a_2=2}\). Czyli układ ma 1 rozwiązanie dla \(\displaystyle{ a ∈ \RR \setminus \{-1,2\}}\).
I tutaj pojawia się problem,ponieważ jest jeszcze drugi warunek - dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) z tego wyznaczonego przedziału \(\displaystyle{ x>1}\).
Szukając w internecie natrafiłem się na jedno zadanie policzone w ten sposób,że jeżeli układ ma 1 rozwiązanie to można je znaleźć wzorami Cramera - no więc wyliczyłem wyznacznik głowny,wyliczyłem \(\displaystyle{ W_x= -a^{3} +3a+2}\) . Czyli przyjmując,że \(\displaystyle{ a ∈ \RR \setminus \{-1,2\}}\) wychodzi,że \(\displaystyle{ \frac{W_X}{X} =1.}\)
Czyli co - brak rozwiązań ? Pierwszy raz natrafiłem się w tych typowych zadaniach z parametrem na przykład,w którym jest dodatkowo jeszcze jeden warunek - czy mój "schemat" jest zły ? Jakies wskazówki ? Pomoccy :(
Ostatnio zmieniony 6 lut 2020, o 18:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Układ równań liniowych z parametrem i warunkiem x>1

Post autor: a4karo »

Na razie pokazałeś, że jeżeli ukłąd ma jedno rozwiązanie, to w każdym z rozwiązań jest `x=1`.
Pozostaje odpowiedzieć na pytanie, co się dzieje dla `a=-1` i `a-2`.
qrk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 sty 2020, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 1 raz

Re: Układ równań liniowych z parametrem i warunkiem x>1

Post autor: qrk »

O kurcze rzeczywiście chyba już rozumiem.
Sprawdziłem co sie dzieje dla \(\displaystyle{ a=2}\). Wyszło,że rząd macierzy \(\displaystyle{ A =}\) rząd macierzy Uzupełnionej \(\displaystyle{ = 2 <}\) liczby niewiadomych (3) . Z tego wynika,że układ ma nieskonczenie wiele rozwiązań zależnych od (3-2=1) jednego parametru. No i po obliczeniach wyszło,że zakładam z - dowolne (oznaczyłem jako \(\displaystyle{ \alpha ) y= \frac{2}{3} + \alpha }\) oraz szukany \(\displaystyle{ x= \frac{4}{3} + \alpha }\). I teraz żeby spełnić założenie: \(\displaystyle{ x>1}\) rozwiązuje równanie \(\displaystyle{ \frac{4}{3}+ \alpha >1 }\) i wychodzi ,że \(\displaystyle{ \alpha }\) to liczby należące do przedziału \(\displaystyle{ (-\frac{1}{3}; \infty ) }\)
Więc teraz robie część wspólną z przedziałem wyliczonym wcześniej - wychodzi,że musze wyrzucić jeszcze dwójke z tego przedziału czyli ostatecznie dla przypadku gdzie \(\displaystyle{ a=2}\) mam \(\displaystyle{ (-\frac{1}{3}; \infty ) \setminus \{2\} }\)
Czy to dobry tok rozumowania ?
Jeżeli tak to analogicznie robię dla przypadku gdzie \(\displaystyle{ a=-1}\). W tym przypadku również wychodzi układ nieoznaczony z tym,że zależny od 2 parametrów \(\displaystyle{ \alpha_1}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha_2}\)
Rozwiązuje równanie \(\displaystyle{ \alpha_1 + \alpha_2 > -1}\)
I tutaj ostatecznie dla całego zadania wychodzi wynik:\(\displaystyle{ (-\frac{1}{3}; \infty ) \setminus \{2\} }\)
Czy ktoś jest w stanie to sprawdzić prosze ? :oops:
Ostatnio zmieniony 6 lut 2020, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{,\}. Używaj indeksów dolnych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Układ równań liniowych z parametrem i warunkiem x>1

Post autor: a4karo »

Na oko widać, że dla `a=-1` układ jest sprzeczny.

Pierwszy przypadek jest ok
ODPOWIEDZ