Diagonalizacja macierzy, krotnosci

[qrk]

Witajcie, pisze,ponieważ mam problem z zadaniem i nie mam pojęcia jak postąpić.
Zadanie wygląda następująco:
Jest dana macierz \(\displaystyle{ A}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-4&1\\0&-3&1\\0&-6&2\end{array}\right]}\)

Znaleźć wartości i wektory własne podanej macierzy. Obliczyć krotności algebraiczne i geometryczne. A następnie (jeżeli to możliwe) wyznaczyć jej postać diagonalną.
I tutaj pojawia się mój problem.
Wyliczyłem wielomian główny który wyszedł mi: \(\displaystyle{ -λ^{3} + λ}\)
Po przyrównaniu go do zera otrzymałem dwie wartości własne:
\(\displaystyle{ λ_1=0}\) - jej krotność algebraiczna wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ λ_2=1}\) - jej krotność algebraiczna wynosi \(\displaystyle{ 2.}\)
I teraz pytanie jak obliczyć/co to są krotności geometryczne ?
Dla podanych lambd znalazłem dwa wektory własne odpowiednio: dla \(\displaystyle{ λ_1:\ [1,1,3]}\) natomiast dla \(\displaystyle{ λ_2:\ [1,0,0]}\) (Tutaj wyszło,że \(\displaystyle{ x}\) dowolne,a \(\displaystyle{ y = z =0}\))
I teraz pojawia sie moj drugi problem - jak wyznaczyć postać diagonalną macierzy która ma tylko dwie wartości własne - co za tym idzie dwa wektory własne ? (Skoro macierz 3 stopnia to potrzebuje 3 - tak ? ) Jakiś tip jak ugryźć to zadanie do końca ?
Pozdrawiam i z góry dziękuje każdemu kto jakkolwiek przyczyni się do pomocy w rozwiązaniu tego zadania

[kerajs]

I tutaj pojawia się mój problem.
Wyliczyłem wielomian główny który wyszedł mi: \(\displaystyle{ -λ^{3} + λ}\)
Po przyrównaniu go do zera otrzymałem dwie wartości własne: λ1=0 - jej krotność algebraiczna wynosi 1. λ2=1 - jej krotność algebraiczna wynosi 2.

\(\displaystyle{ - \lambda^3+ \lambda =0\\
- \lambda ( \lambda^2-1)=0 \\
\lambda=0 \ \ \vee \ \ \lambda=1 \ \ \vee \ \ \lambda=-1}\)

[qrk]

O kurcze,rzeczywiście
No więc koniec końców mam 3 wartości własne: \(\displaystyle{ λ=0 ∨ λ=1 ∨ λ=−1}\)
I 3 wektory własne: dla \(\displaystyle{ λ=0 :\ (1,1,3)}\) ; dla \(\displaystyle{ λ=1:\ (1,0,0)}\) ; dla \(\displaystyle{ λ=−1:\ (3,1,2)}\)
Więc szukaną postacią diagonalną macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest na przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\)

I teraz pytanie bo tą przykładową podaną postacią diagonalną jest postać ,kiedy macierz W jest utworzona z odpowiednio ustawionych (znalezionych wcześniej) wektorów własnych. Czy podając ostateczną odpowiedź musze napisać te postać w ten sposób: \(\displaystyle{ W\cdot λ\cdot W^{-1} }\) ?
I jeszcze kolejne pytanie - jak wyliczyć te krotności algebraiczne ?

[kerajs]

Czy podając ostateczną odpowiedź musze napisać te postać w ten sposób: \(\displaystyle{ W\cdot λ\cdot W^{-1} }\) ?

Kartkówki i kolokwia piszesz pod oczekiwania wykładowcy, więc o to musisz się zapytać na uczelni.

I jeszcze kolejne pytanie - jak wyliczyć te krotności algebraiczne ?

Wartości własne są różnymi pierwiastkami, czyli ich krotności algebraicznie wynoszą \(\displaystyle{ 1}\). (poprawnie je wskazałeś w błędnym przykładzie)

PS
Krotność geometryczna to wymiar przestrzeni wektorów własnych odpowiadających wartości własnej. Ponadto macierz jest diagonalizowalna tylko wtedy, gdy krotność algebraiczna każdej wartości własnej jest równa odpowiadającej jej krotności geometrycznej.