Przekształcenia liniowe - problem z dowodem

[pasjonat_matematyki]

Witam

Mam pewien problem z dowodem następującego twierdzenia:

Niech będą dane przestrzenie liniowe \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\). Załóżmy, że dana jest baza \(\displaystyle{ S=(v_{t})_{t\in I } }\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) oraz układ \(\displaystyle{ S'=(w_{t})_{ t\in I} }\) wektorów przestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Przy tych założeniach istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: V \to W}\), takie, że \(\displaystyle{ T( v_{t}) = w_{t}. }\)

Otóż w części dowodu poświęconej istnieniu przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ T,}\) jego wartość definiuje się poprzez wzór: \(\displaystyle{ T(v) =\sum_{\substack{t \in I}}a_{t} w_{t} }\), gdzie \(\displaystyle{ v = \sum_{\substack{t \in I}}a_{t} v_{t} }\).
Zaskakujące jest, że tą wartość się tu definiuje. W takiej sytuacji pojawia się wątpliwość, czy przy innej definicji to twierdzenia też pozostanie w mocy. Wydaje mi się, że należałoby raczej wyprowadzić taki a nie inny wzór bazując na założeniach twierdzenia, a następnie pokazać, że przekształcenie o takim wzorze jest liniowe i jedyne.

[Dasio11]

Otóż w części dowodu poświęconej istnieniu przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ T,}\) jego wartość definiuje się poprzez wzór: [...]
Zaskakujące jest, że tą wartość się tu definiuje.

Dlaczego zaskakuje Cię, że zdefiniowanie konkretnego obiektu o własności \(\displaystyle{ \heartsuit}\)* dowodzi istnienia obiektu o własności \(\displaystyle{ \heartsuit}\)?

W takiej sytuacji pojawia się wątpliwość, czy przy innej definicji to twierdzenia też pozostanie w mocy.

Nie rozumiem tej wątpliwości.

Wydaje mi się, że należałoby raczej wyprowadzić taki a nie inny wzór bazując na założeniach twierdzenia, a następnie pokazać, że przekształcenie o takim wzorze jest liniowe i jedyne.

Jeśli chodzi Ci o to, by z faktu że \(\displaystyle{ T}\) ma własność \(\displaystyle{ \heartsuit}\) wywnioskować, że \(\displaystyle{ T}\) musi być dane jakimś konkretnym wzorem - to ten schemat dowodzi wyłącznie jedyności obiektu o własności \(\displaystyle{ \heartsuit}\), a Ty przecież odnosisz się do dowodu istnienia takiegoż.

*Na potrzeby tego posta \(\displaystyle{ \heartsuit}\) oznacza własność "bycia przekształceniem liniowym \(\displaystyle{ T : V \to W}\), takim że \(\displaystyle{ T(v_t) = w_t}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t \in I}\)".