Jądro i obraz operatora liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Klaing »

Dobry wieczór, przepraszam za tak późną porę ale czy wytłumaczyłby mi ktoś jak znaleźć odpowiedź:
Niech
\(\displaystyle{
A = \begin{bmatrix} 1&-3\\3&1\end{bmatrix}
}\)


Operator liniowy \(\displaystyle{ F: \RR^{2 \times 2} \rightarrow \RR^{2 \times 2}}\) określamy wzorem

\(\displaystyle{ F(x) = A^TXA - 10X^T.}\)

Znaleźć jądro i obraz odwzorowania \(\displaystyle{ F}\).
Nie rozumiem co znaczy tutaj ten zapis

\(\displaystyle{ A^TXA - 10X^T.}\)

Wiem, że powinienem przyrównać go do 0, ale chyba trochę onieśmielają mnie te znaki.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2020, o 22:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

Klaing pisze: 28 sty 2020, o 22:42Nie rozumiem co znaczy tutaj ten zapis

\(\displaystyle{ A^TXA - 10X^T.}\)
Ale czego w nim nie rozumiesz? Masz tu transponowanie macierzy, mnożenie macierzy przez siebie oraz mnożenie macierzy przez skalar.

JK
Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Klaing »

Rozumiem, że
\(\displaystyle{
A^T
}\)

to transponowanie oraz rozumiem mnożenie macierzy i przez 10, ale czym jest X w tym przypadku
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Janusz Tracz »

Zmienną \(\displaystyle{ F(\red{X}) = A^T\red{X}A - 10\red{X}^T}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

\(\displaystyle{ X}\) oznacza zmienną. Źle przepisałeś wzór, powinno być

\(\displaystyle{ F(X) = A^TXA - 10X^T.}\)

Operator \(\displaystyle{ F}\) to funkcja, która macierzy \(\displaystyle{ X}\) przypisuje macierz \(\displaystyle{ F(X)}\) według podanego wzoru.

JK
Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Klaing »

Okej, jeśli tylko jeszcze mógłbym to jak zapisać ten \(\displaystyle{ X}\) biorąc pod uwagę że jesteśmy w \(\displaystyle{ \RR^{2 \times 2}}\)?

Dodano po 5 minutach 47 sekundach:
Ogólnie rzecz biorąc umiem zrobić resztę, tylko blokuje mnie to, że nie wiem jak zapisać ten \(\displaystyle{ X}\).
Ostatnio zmieniony 28 sty 2020, o 23:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

Np. \(\displaystyle{ X = \begin{bmatrix} x&y\\z&t\end{bmatrix}}\).

JK
Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Klaing »

ok nieważne chyba rozumiem

Dodano po 25 sekundach:
Oj, właśnie miałem zamiar to napisać,

Dodano po 22 sekundach:
I tak, bardzo dziękuję za poświęcony mi czas
Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Nadine »

Ja mam jeszcze pytanie do tego wątku, bo po działaniach wychodzi coś takiego
\(\displaystyle{
\left(\begin{matrix}
-9\cdot a-3\cdot b-3\cdot c+9\cdot d & 3\cdot a+b-19\cdot c-3\cdot d \\
3\cdot a-19\cdot b+c-3\cdot d & 9\cdot a+3\cdot b+3\cdot c-9\cdot d
\end{matrix}\right)
}\)

I teraz powinnam zrobić kolumny, kolejno dla \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i z tych kolumn stworzyć macierz tak?
np.:
\(\displaystyle{
a
\left(\begin{matrix}
-9\\3\\3\\9\end{matrix}\right)}\)
Ostatnio zmieniony 29 sty 2020, o 16:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

Nadine pisze: 29 sty 2020, o 09:59I teraz powinnam zrobić kolumny, kolejno dla \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i z tych kolumn stworzyć macierz tak?
np.:
\(\displaystyle{
a
\left(\begin{matrix}
-9\\3\\3\\9\end{matrix}\right)}\)
Ale w jakim celu?

JK
Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Nadine »

Chyba aby znaleźć macierz której jądra szukam
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Jądro i obraz operatora liniowego

Post autor: Jan Kraszewski »

Nadine pisze: 29 sty 2020, o 21:23Chyba aby znaleźć macierz której jądra szukam
Szukamy jądra operatora liniowego \(\displaystyle{ F}\). Starasz się zatem rozwiązać równanie \(\displaystyle{ A^TXA - 10X^T=\mathbf{0},}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{0}}\) oznacza macierz zerową. Jeżeli zatem poprawnie wykonałaś obliczenia (nie sprawdzałem), to masz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -9\cdot a-3\cdot b-3\cdot c+9\cdot d & 3\cdot a+b-19\cdot c-3\cdot d \\
3\cdot a-19\cdot b+c-3\cdot d & 9\cdot a+3\cdot b+3\cdot c-9\cdot d
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0\end{bmatrix}. }\)


Dostajesz układ jednorodny czterech równań z czterema niewiadomymi i rozwiązujesz go (pojawi się wtedy macierz, o której piszesz, ale w związku z układem, który chcesz rozwiązać). Potem wykorzystujesz rozwiązanie do opisania jądra.

JK
ODPOWIEDZ