Macierze zmiany bazy

[terefere123]

Mam proste zadanie wyznaczyć macierz zmiany standardowej bazy \(\displaystyle{ \RR^3}\) w bazę \(\displaystyle{ B = \left\{ (3, 3, 4), (-1, 2, 2), (1, 1, 1)\right\} }\)

Według podręcznika jest to macierz \(\displaystyle{ M = \begin{bmatrix} 3&-1&1\\3&2&1\\4&2&1\end{bmatrix}}\). Według mnie poprawna powinna być macierz \(\displaystyle{ M^{-1}}\).

Weżmy wektor \(\displaystyle{ (3, 3, 4)}\) w bazie standardowej.
Według tej macierzy \(\displaystyle{ M}\) jest to:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-1&1\\3&2&1\\4&2&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3\\3\\4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10\\19\\22\end{bmatrix}}\)
A powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}}\)

Może to ja źle coś interpretuje? W każdym miejscu tej książki jest na odwrót.
Proszę o wytłumaczenie.

[Jan Kraszewski]

A jak w tej książce jest definiowana macierz zmiany bazy?

JK

[terefere123]

Czyli są różne definicje zmiany bazy?

Książka to: Algebra Liniowa, Przykłady i zadania T. Jurlewicz i Z. Skoczylas
Niestety mam tylko tą, a definicje na których ona jest oparta są w innej książce której nie mam, a w internecie nie mogę znaleźć.

[ivni]

Jeżeli wektory bazy transformują się poprzez tę macierz \(\displaystyle{ M}\) (kowariantnie), to współrzędne wektorów transformują się poprzez macierz odwrotną \(\displaystyle{ M^{-1}}\) (kontrawariantnie). Niech \(\displaystyle{ \vec{e_i} }\) będą starą bazą, a \(\displaystyle{ \vec{e_i}'}\) nową. Wektory bazy transformują się następująco \(\displaystyle{ \vec{e_i}'= \sum_{j}M_{ji} \vec{e_j} }\). Zapiszmy pewien wektor \(\displaystyle{ \vec{v} }\) w tych bazach: \(\displaystyle{ \vec{v} = \sum_{i} v_i \vec{e_i}= \sum_{i} v_i' \vec{e_i}' = \sum_{k} v_k' \sum_{i}M_{ik} \vec{e_i}= \sum_{i} \sum_{k} v_k'M_{ik} \vec{e_i} }\), gdzie w przedostatnim kroku zmieniłem indeksy sumowania. Korzystając z niezależności liniowej wektorów bazy otrzymujemy \(\displaystyle{ v_i =\sum_{k} v_k 'M_{ik}}\) lub równoważnie \(\displaystyle{ v_i '= \sum_{k} M_{ki}^{-1}v_k=\sum_{j} M_{ji}^{-1}v_j}\).

[terefere123]

A mógłbyś pokazać to na jakimś małym przykładzie? Nie jestem jeszcze zbyt obeznany w tych pojęciach i trochę to słabo rozumiem co napisałeś.

[janusz47]

Bardziej adekwatne od pojęcia zmiany bazy jest pojęcie macierzy przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'}. }\)

W zadaniu mamy macierz \(\displaystyle{ \mathcal{B} = S }\) (standardowa) oraz bazę \(\displaystyle{ \mathcal{B'} = \{ ( 3,3,4), ( -1,2,2), (1,1,1) \} }\)

Wyznaczyć
a)
macierz przejścia \(\displaystyle{ P }\) z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'} }\)

b)
macierz \(\displaystyle{ Q }\) przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\)

Rozwiązanie

a)

Tworzymy macierze \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{B'}, }\) zapisując wektory bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{B'} }\) jako ich kolumny

\(\displaystyle{ \mathcal{B} = \left [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right], \mathcal{B'} =\left[\begin{matrix} 3 & 3 & 4\\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right] }\)

Łączymy macierze, tworząc macierz \(\displaystyle{ [\mathcal{B}| \mathcal{B'}]}\) . Po lewej stronie występuje macierz jednostkowa \(\displaystyle{ \mathcal{I}_{3}, }\) więc po prawej stronie mamy macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'}.}\)

Jest to macierz \(\displaystyle{ P = \mathcal{B'} = \left[\begin{matrix} 3 & 3 & 4\\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right]. }\)

b)

Tym razem łączymy macierze \(\displaystyle{ \mathcal{B'}, \mathcal{B}, }\) tworząc macierz

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 3 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]}\)

Metodą eliminacji Gaussa- Jordana sprowadzamy tą macierz do postaci \(\displaystyle{ [\mathcal{I}_{3}| Q ] }\)

Macierz \(\displaystyle{ Q = P^{-1} }\) jest macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}.}\)

Proszę sprawdzić, wykonując eliminacje Gaussa - Jordana.

Odpowiedź

\(\displaystyle{ Q = P^{-1} = \left[ \begin{matrix} 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ -1 & \frac{1}{3} & \frac{10}{3}\\ 1 & 0 & -3 \end{matrix}\right] }\)


Dodano po 23 minutach 59 sekundach:
Jaki z tego zadania wynika praktyczny sposób znajdowania macierze przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'}? }\)

Twierdzenie

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \{u_{1}, u_{2}, ..., u_{n} \}, \ \ \mathcal{B'} = \{v_{1}, v_{2},..., v_{n} \} }\) będą dwiema bazami przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{n} }\) . Wówczas macierz \(\displaystyle{ P }\) przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'} }\) można otrzymać metodą eliminacji Gaussa-Jordana, sprowadzając macierz \(\displaystyle{ [\mathcal{B}|\mathcal{B'} ] }\) do postaci \(\displaystyle{ [\mathcal{I}_{n} |P ]_{n\times 2n}. }\)

Zachęcam do przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia.

[terefere123]

Tworzymy macierze \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{B'}, }\) zapisując wektory bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{B'} }\) jako ich kolumny

\(\displaystyle{ \mathcal{B} = \left [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right], \mathcal{B'} =\left[\begin{matrix} 3 & 3 & 4\\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right] }\)

Wpisałeś wektory jako wiersze nie jako kolumny.

Dobrze wyznaczona macierz z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{B'}}\) jest (wg. używanej przez ciebie metody/definicji) ta co napisałem na samej górze. Ale czemu po pomnożeniu wektora przez tą macierz wychodzi mi zły wektor?

[janusz47]

Bo żeby przejść z powrotem do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} = S }\) należy pomnożyć przez macierz \(\displaystyle{ Q = P^{-1}. }\)

[terefere123]

Ale ja chciałbym mieć współrzędne wektora w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B'}}\)

Macierz \(\displaystyle{ M}\) to macierz przejścia z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{B'}}\). To chciałbym zapisać wektor z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) używając tej macierzy:

Weżmy wektor \(\displaystyle{ (3, 3, 4)}\) w bazie standardowej.
Według tej macierzy \(\displaystyle{ M}\) jest to:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-1&1\\3&2&1\\4&2&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3\\3\\4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10\\19\\22\end{bmatrix}}\)
A powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ P^{-1}\cdot \left [ \begin{matrix} 3\\3\\4\end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix} \right]}\)

[terefere123]

\(\displaystyle{ P^{-1}\cdot \left [ \begin{matrix} 3\\3\\4\end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix} \right]}\)

No właśnie, to tak naprawdę \(\displaystyle{ P^{-1}}\) "zamienia" nam wektor z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{B'}}\).
A nazywa się "Macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B'}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\)".
Czy taka nazwa (jak jest poprawna) to nie wprowadza w błąd?

[janusz47]

Jest macierz przejścia (w przeciwną stronę) z bazy \(\displaystyle{ B' }\) do bazy \(\displaystyle{ B, }\) w tym przypadku do bazy standardowej \(\displaystyle{ S }\)

\(\displaystyle{ P^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & -1 & 1 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3}& -1 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right] = \left [\begin{matrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]. }\)

To nie wprowadza w błąd.

[terefere123]

Chyba źle na to patrze...
Czemu macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B' }\) do bazy \(\displaystyle{ B }\) "zamienia" nam wektor z \(\displaystyle{ B }\) w wektor w bazie \(\displaystyle{ B' }\)?

Nie powinno być tak, że jak mam wektor w bazie \(\displaystyle{ B }\) i chce go zamienić na wektor w bazie \(\displaystyle{ B' }\) to używam macierzy przejścia z bazy \(\displaystyle{ B }\) do bazy \(\displaystyle{ B' }\)?

A nie tak jak tutaj mamy, że zamieniając wektor z bazy \(\displaystyle{ B }\) do bazy \(\displaystyle{ B' }\) używamy macierzy przejścia z bazy \(\displaystyle{ B' }\) do bazy \(\displaystyle{ B }\).

Rozumie Pan o co mi chodzi?

[janusz47]

\(\displaystyle{ P\cdot [x]_{B^{'}}= [x]_{B} }\)

\(\displaystyle{ [x]_{B^{'}}= P^{-1}\cdot [x]_{B} }\)

\(\displaystyle{ P }\) jest macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) do bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B}^{'}.}\)