Cześć,
Mam problem z następującymi zadaniami:
1) Dane jest odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ T}\) takie,że:
\(\displaystyle{ T: \RR^2 \rightarrow \RR^2}\), \(\displaystyle{ T(1,3)=(1,1), T(1,1)=(0,1)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ T(-1,3)}\).
Jak się za to w ogóle zabrać ? W podręcznikach/notatkach/internecie nigdy nie napotkałem się na tego typu zdanie - ratunku :/
2) Jak wyznaczyć macierz złożenia dwóch podanych odwzorowań np \(\displaystyle{ T \circ S}\) (Oba \(\displaystyle{ \RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\) ) Na forum natknąłem się na informację,że można to zrobić poprzez wyznaczenie najpierw dwóch Macierzy - osobno dla odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) i odwzorowania \(\displaystyle{ S}\) a następnie te macierze pomnożyć ( W przypadku gdy \(\displaystyle{ T \circ S}\) mnożymy macierz S * macierz T?
3) Jak sprawdzić czy odwzorowanie jest izomorfizmem ? Nigdzie nie moge dokopać się do jakiś "jasnych warunków" . Czy wystarczy gdy jego macierz ma niezerowy wyznacznik ?
Jeżeli jakiś temat był już gdzieś poruszony na forum to bardzo proszę o link bo nie moge się do tego "dokopać" (Tak, korzystałem z opcji szukaj na forum :/)
Odwzorowanie Liniowe - Obliczenia/Izomorfizm
-
qrk
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 sty 2020, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 1 raz
Odwzorowanie Liniowe - Obliczenia/Izomorfizm
Ostatnio zmieniony 18 sty 2020, o 21:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: w ogóle.
Powód: Poprawa wiadomości: w ogóle.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Odwzorowanie Liniowe - Obliczenia/Izomorfizm
\(\displaystyle{ 1)}\) Można na przykład zauważyć, że wektor \(\displaystyle{ (-1,3)}\) to \(\displaystyle{ 2 \cdot (1,3)-3 \cdot (1,1)}\) dlatego
\(\displaystyle{ T\left[ (-1,3)\right] =T\left[ 2 \cdot (1,3)-3 \cdot (1,1)\right] }\)
skorzystaj z liniowości \(\displaystyle{ T}\).
Dodano po 10 minutach 27 sekundach:
\(\displaystyle{ 2)}\) Tak tylko trzeba to wykonać w odpowiedniej kolejności. Nich \(\displaystyle{ T,S}\) będą odwzorowaniami liniowymi wtedy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T\circ S}\) to \(\displaystyle{ M_TM_S}\) gdzie \(\displaystyle{ M_T}\) to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ M_s}\) to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ S}\)
Dodano po 8 minutach 29 sekundach:
\(\displaystyle{ 3)}\) Izomorfizm można z definicji sprawdzać (czy jest bijekcją) ale dla przestrzeni skończonego wymiaru przekształcenie \(\displaystyle{ \phi}\) jest izomorfizmem gdy wyznacznik macierzy (czyli wymiary przestrzeni musza być sobie równe aby macierz była kwadratowa) jest niezerowy.
\(\displaystyle{ T\left[ (-1,3)\right] =T\left[ 2 \cdot (1,3)-3 \cdot (1,1)\right] }\)
skorzystaj z liniowości \(\displaystyle{ T}\).
Dodano po 10 minutach 27 sekundach:
\(\displaystyle{ 2)}\) Tak tylko trzeba to wykonać w odpowiedniej kolejności. Nich \(\displaystyle{ T,S}\) będą odwzorowaniami liniowymi wtedy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T\circ S}\) to \(\displaystyle{ M_TM_S}\) gdzie \(\displaystyle{ M_T}\) to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ M_s}\) to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ S}\)
Dodano po 8 minutach 29 sekundach:
\(\displaystyle{ 3)}\) Izomorfizm można z definicji sprawdzać (czy jest bijekcją) ale dla przestrzeni skończonego wymiaru przekształcenie \(\displaystyle{ \phi}\) jest izomorfizmem gdy wyznacznik macierzy (czyli wymiary przestrzeni musza być sobie równe aby macierz była kwadratowa) jest niezerowy.