Badanie czy zbiory są podprzestrzeniami podanych przestrzeni liniowych

[makerda1997]

Witam,

Mam problem z dwoma przykładami z zadania o poleceniu:

Zbadaj, czy podane zbiory W są podprzestrzeniami wskazanych przestrzeni liniowych:
\(a)\ W = \left\{ p : st. p = 4 \right\} \subset \RR_{4} [x]\\
b)\ W = \left\{ p : 2p(x) = p(2x) \right\} \subset \RR[x]\)

Serdecznie proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ a)}\) Zauważ, że \(\displaystyle{ x^4\in\ W}\) oraz \(\displaystyle{ -x^4+x\in W}\) a czy \(\displaystyle{ x^4+(-x^4+x)\in W}\) ?
\(\displaystyle{ b)}\) Jakie wielomiany spełniają warunek \(\displaystyle{ 2p(x)=p(2x)}\). Wskazówka \(\displaystyle{ p(x)+p(x)=p(x+x)}\).

[makerda1997]

a) Dlaczego akurat \(\displaystyle{ -x ^{4} + x }\) ?
b) Czy chodzi tu o stopień wielomianu?

[Jan Kraszewski]

a) Dlaczego akurat \(\displaystyle{ -x ^{4} + x }\) ?

A dlaczego nie? Czy rozumiesz, co trzeba zrobić w tym zadaniu?

JK

[makerda1997]

a) Dlaczego akurat \(\displaystyle{ -x ^{4} + x }\) ?

A dlaczego nie? Czy rozumiesz, co trzeba zrobić w tym zadaniu?

JK

Nie do końca, dlatego proszę o pomoc w wyjaśnieniu mi go. Już wiem, dlaczego \(\displaystyle{ -x ^{4} + x }\) ale nie wiem co dzieje się dalej.

[Janusz Tracz]

b) Czy chodzi tu o stopień wielomianu?

Tak. Ale na chwilę obecną zajmijmy się tylko podpunktem \(\displaystyle{ a}\).

Nie do końca, dlatego proszę o pomoc w wyjaśnieniu mi go. Już wiem, dlaczego \(\displaystyle{ -x^4+x}\) ale nie wiem co dzieje się dalej.

Proszę przytocz definicję podprzestrzeni liniowej. Pokazałem zaprzeczenie jednego z warunków które ją definiują (którego?).

[makerda1997]

Podprzestrzeń liniowa to niepusty zbiór \(\displaystyle{ W ⊂ V}\) jeżeli spełnione są warunki:
1. \(\displaystyle{ w_1 + w_2 \in W}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ w_1,w_2 \in W}\)
2. \(\displaystyle{ \alpha\cdot w \in W}\) dla każdego \(\displaystyle{ α ∈ \RR}\) oraz każdego \(\displaystyle{ w ∈ W}\)

Chodzi tu o warunek 1.

[Janusz Tracz]

Zgadza się. W pierwszym warunku jest informacja, że dla każdej pary wektorów z \(\displaystyle{ W}\) ich suma jest w \(\displaystyle{ W}\) a ja pokazałem, że tak nie jest. Zaprzeczając definicji. Czyli w podpunkcie \(\displaystyle{ a)}\) nie masz do czynienia z podprzestrzenią liniową.

[a4karo]

W zbiorze z punktu a nie ma wektora zerowego. Koniec

[makerda1997]

Jak zatem podejść do podpunktu b?

[Janusz Tracz]

W \(\displaystyle{ b }\) warunek \(\displaystyle{ 2p(x)=p(2x)}\) oznacza, że

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2a_kx^k= \sum_{k=0}^{n}a_k2^kx^k }\)

Porównując wielomiany mamy zatem, że

\(\displaystyle{ \bigwedge_{k=0}^n 2a_k=a_k2^k}\)

zatem

\(\displaystyle{ \bigwedge_{k=0}^n (2^{k-1}-1)a_k=0}\)

A to oznacza, że wszystkie \(\displaystyle{ a_k}\) dla \(\displaystyle{ k\in \left\{ 0,1,2,3,...,n\right\} \setminus \left\{ 1\right\} }\) są zerem. Więc tylko dla \(\displaystyle{ k=1}\) można brać \(\displaystyle{ a_k}\) inne niż zero dlatego wielomiany spełniające ten warunek to wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax}\) gdzie \(\displaystyle{ a\in\RR}\). Pytanie więc sprowadza się do tego czy \(\displaystyle{ W=\left\{ ax: a\in\RR\right\} }\) jest podprzestrzenią. Sprawdź z definicji czy spełnione są odpowiednie warunki podprzestrzeni. Ustal dowolne \(\displaystyle{ w_1, w_2\in W}\) i sprawdź czy ich suma jest w \(\displaystyle{ W}\) i podobnie ustal dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in\RR}\) oraz \(\displaystyle{ w\in W}\) o zobacz czy \(\displaystyle{ \alpha w}\) jest w \(\displaystyle{ W}\).

[Dasio11]

Dużo prościej od razu sprawdzać z definicji, na przykład: jeśli \(\displaystyle{ p, q \in W}\), to \(\displaystyle{ p(2x) = 2p(x)}\) i \(\displaystyle{ q(2x) = 2q(x)}\). Dodając stronami, dostajemy \(\displaystyle{ p(2x) + q(2x) = 2p(x) + 2q(x)}\), tj. \(\displaystyle{ (p+q)(2x) = 2(p+q)(x)}\), co świadczy o tym, że \(\displaystyle{ p+q \in W}\).