Przecięcie przestrzeni

[Nadine]

Dobry wieczór, w serii zadań dostałam polecenie wykazania że każdy wektor z przestrzeni
\(\displaystyle{
\RR^4
}\)
jest kombinacją liniową wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) oraz przecięcie \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest puste
\(\displaystyle{
U=\{ a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]\}\\
V=\{ a[-1, -1, 1, -1] + b[2, 2, 0, 1]\}\\
a,b \in \RR
}\)
Z pierwszą częścią sobie poradziłam, pokazując, że wyznacznik jest różny od zera, ale jak pokazać, że przecięcie przestrzeni jest puste?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ U={ a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]}}\)

\(\displaystyle{ V= a[-1, -1, 1, -1] + b[2, 2, 0, 1]}\)

Naprawdę tak wyglądały definicje przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ V}\)?
A czy przypadkiem wektor zerowy nie należy do \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ V}\) jednocześnie?

[Nadine]

Dokładnie tak, jedynie tabelki [] były pionowe nie poziome, ale to chyba nie ma znaczenia

[a4karo]

Z faktu, że wektor zerowy nakazy do obu przestrzeni nie wynika, że przekrój jest pusty.
Masz kilka możliwości
Możesz policzyć wymiar przekroju.
Możesz rozwiązać równanie `u=v` gdzie `u \in U, v \in V`..

To drugie będzie prostsze, bo wiesz, że wyznacznik jest równy 0

[Nadine]

Nie rozumiem, jak to wyznacznik jest równy zero skoro wcześniej liczyłam wyznacznik 4x4 i wyszło mi 2

Dodano po 3 minutach 53 sekundach:
A o równanie u=v wystarczy porównań wyznaczniki 2x4 ?

Dodano po 47 sekundach:
Takie chyba nie istnieją w sumie

[a4karo]

Sorry, miało być różny od zera.

Janusz Tracz zwrócił uwagę na to że przekrój jest niepustym, bo wektor zerowy do niego należy. Myślę że chodzi o zerowy wymiar przekroju.

[Nadine]

Ale moim zadaniem jest pokazanie, że przecięcię JEST puste

Dodano po 36 sekundach:
Czyli tu nie ma wektora zerowego więc jest puste?

[a4karo]

Czyli żle zrozumiałem intencję zadania. Przekrój nie może być pusty, bo wektor zerowy należy do każdej przestrzeni liniowej z definicji.

Jako ćwiczenie ciekawsze pokaż, że `U\cap V=\{0\}`

Wsk:

Jeżeli wektor należy do `U\cap V`, to z jednej strony jest postaci `v=a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]` a z drugiej `v=c[-1, -1, 1, -1] + d[2, 2, 0, 1]`
Zastanów się co stąd wynika.

[Jan Kraszewski]

Ale moim zadaniem jest pokazanie, że przecięcie JEST puste

Na to nie masz szans. A fakt, że tego nie wiesz, nie świadczy zbyt dobrze o zrozumieniu przez Ciebie pojęcia przestrzenie liniowej.

Czyli tu nie ma wektora zerowego więc jest puste?

Jak nie ma jak jest. Wektor zerowy jest elementem KAŻDEJ przestrzeni liniowej. Należy zatem do każdego przekroju dowolnych podprzestrzeni liniowych.

To co masz tak naprawdę pokazać w tym zadaniu to fakt, że w przekroju podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest wyłącznie wektor zerowy.

JK

[Janusz Tracz]

Nadine a co rozumiesz przez "puste przecięcie", może od tego powinniśmy zacząć? Ja interpretowałem to w duchu teorii zbiorów i pokazałem, że teza jest nieprawdziwa bo \(\displaystyle{ U \cap V \neq \emptyset}\). Natomiast a4karo przez "pustość przecięcia" rozumie(ł) (lokalnie na potrzeby tego zadania), że wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ U \cap V}\) jest zerowy mimo, że sama przestrzeń pusta nie jest. I każdy z nas miał sensowne argumenty stojące za wybraną interpretacją. Podpisuje się natomiast pod propozycją

Jako ćwiczenie ciekawsze pokaż, że \(\displaystyle{ U \cap V=\left\{ 0\right\} }\)

przy czym \(\displaystyle{ 0}\) jest tu rozumienie jako wektor zerowy \(\displaystyle{ \left[ 0,0,0,0\right] }\). Wtedy po prostu widać czym jest przekrój.