Przecięcie przestrzeni
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Przecięcie przestrzeni
Dobry wieczór, w serii zadań dostałam polecenie wykazania że każdy wektor z przestrzeni
\(\displaystyle{
\RR^4
}\)
jest kombinacją liniową wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) oraz przecięcie \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest puste
\(\displaystyle{
U=\{ a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]\}\\
V=\{ a[-1, -1, 1, -1] + b[2, 2, 0, 1]\}\\
a,b \in \RR
}\)
Z pierwszą częścią sobie poradziłam, pokazując, że wyznacznik jest różny od zera, ale jak pokazać, że przecięcie przestrzeni jest puste?
\(\displaystyle{
\RR^4
}\)
jest kombinacją liniową wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) oraz przecięcie \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest puste
\(\displaystyle{
U=\{ a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]\}\\
V=\{ a[-1, -1, 1, -1] + b[2, 2, 0, 1]\}\\
a,b \in \RR
}\)
Z pierwszą częścią sobie poradziłam, pokazując, że wyznacznik jest różny od zera, ale jak pokazać, że przecięcie przestrzeni jest puste?
Ostatnio zmieniony 16 sty 2020, o 21:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Przecięcie przestrzeni
Naprawdę tak wyglądały definicje przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ V}\)?\(\displaystyle{ U={ a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]}}\)
\(\displaystyle{ V= a[-1, -1, 1, -1] + b[2, 2, 0, 1]}\)
A czy przypadkiem wektor zerowy nie należy do \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ V}\) jednocześnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Przecięcie przestrzeni
Z faktu, że wektor zerowy nakazy do obu przestrzeni nie wynika, że przekrój jest pusty.
Masz kilka możliwości
Możesz policzyć wymiar przekroju.
Możesz rozwiązać równanie `u=v` gdzie `u \in U, v \in V`..
To drugie będzie prostsze, bo wiesz, że wyznacznik jest równy 0
Masz kilka możliwości
Możesz policzyć wymiar przekroju.
Możesz rozwiązać równanie `u=v` gdzie `u \in U, v \in V`..
To drugie będzie prostsze, bo wiesz, że wyznacznik jest równy 0
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Przecięcie przestrzeni
Nie rozumiem, jak to wyznacznik jest równy zero skoro wcześniej liczyłam wyznacznik 4x4 i wyszło mi 2
Dodano po 3 minutach 53 sekundach:
A o równanie u=v wystarczy porównań wyznaczniki 2x4 ?
Dodano po 47 sekundach:
Takie chyba nie istnieją w sumie
Dodano po 3 minutach 53 sekundach:
A o równanie u=v wystarczy porównań wyznaczniki 2x4 ?
Dodano po 47 sekundach:
Takie chyba nie istnieją w sumie
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Przecięcie przestrzeni
Sorry, miało być różny od zera.
Janusz Tracz zwrócił uwagę na to że przekrój jest niepustym, bo wektor zerowy do niego należy. Myślę że chodzi o zerowy wymiar przekroju.
Janusz Tracz zwrócił uwagę na to że przekrój jest niepustym, bo wektor zerowy do niego należy. Myślę że chodzi o zerowy wymiar przekroju.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Przecięcie przestrzeni
Czyli żle zrozumiałem intencję zadania. Przekrój nie może być pusty, bo wektor zerowy należy do każdej przestrzeni liniowej z definicji.
Jako ćwiczenie ciekawsze pokaż, że `U\cap V=\{0\}`
Wsk:
Jeżeli wektor należy do `U\cap V`, to z jednej strony jest postaci `v=a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]` a z drugiej `v=c[-1, -1, 1, -1] + d[2, 2, 0, 1]`
Zastanów się co stąd wynika.
Jako ćwiczenie ciekawsze pokaż, że `U\cap V=\{0\}`
Wsk:
Jeżeli wektor należy do `U\cap V`, to z jednej strony jest postaci `v=a[1, 1, 1 ,1] + b[-1, -2, 0 ,1]` a z drugiej `v=c[-1, -1, 1, -1] + d[2, 2, 0, 1]`
Zastanów się co stąd wynika.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Przecięcie przestrzeni
Na to nie masz szans. A fakt, że tego nie wiesz, nie świadczy zbyt dobrze o zrozumieniu przez Ciebie pojęcia przestrzenie liniowej.
Jak nie ma jak jest. Wektor zerowy jest elementem KAŻDEJ przestrzeni liniowej. Należy zatem do każdego przekroju dowolnych podprzestrzeni liniowych.
To co masz tak naprawdę pokazać w tym zadaniu to fakt, że w przekroju podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest wyłącznie wektor zerowy.
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Przecięcie przestrzeni
Nadine a co rozumiesz przez "puste przecięcie", może od tego powinniśmy zacząć? Ja interpretowałem to w duchu teorii zbiorów i pokazałem, że teza jest nieprawdziwa bo \(\displaystyle{ U \cap V \neq \emptyset}\). Natomiast a4karo przez "pustość przecięcia" rozumie(ł) (lokalnie na potrzeby tego zadania), że wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ U \cap V}\) jest zerowy mimo, że sama przestrzeń pusta nie jest. I każdy z nas miał sensowne argumenty stojące za wybraną interpretacją. Podpisuje się natomiast pod propozycją
przy czym \(\displaystyle{ 0}\) jest tu rozumienie jako wektor zerowy \(\displaystyle{ \left[ 0,0,0,0\right] }\). Wtedy po prostu widać czym jest przekrój.Jako ćwiczenie ciekawsze pokaż, że \(\displaystyle{ U \cap V=\left\{ 0\right\} }\)