Baza w jądrze i obrazie.

[koosc]

Dla odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ L :\RR^{3} \to \RR^{4} }\) określonego wzorem:
\(\displaystyle{ L(x, y, z) = (x + y, 2x − y, x + y + z, z − 2x)}\)

Bazę w jądrze odwzorowania \(\displaystyle{ \ker(L)}\)
Bazę w obrazie \(\displaystyle{ \Im(L)}\)

Rozumiem, że macierz odwzorowania będzie wyglądać:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0&\\2&-1&0\\1&1&1\\-2&0&1\end{array}\right]}\)

Tylko, czy ktoś mógłby wytłumaczyć sposób znajdywania tych baz, bo z wykładu nie potrafiłem tego zrozumieć niestety.

[Gosda]

Baza w obrazie jest prostsza: zaczynasz od wektorów bazowych w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\), nakładasz na nie przekształcenie \(\displaystyle{ L}\). Jeżeli otrzymany zbiór jest liniowo niezależny, to koniec. Jeśli nie jest, wybierz z niego możliwie największy liniowo niezależny podzbiór.

Baza w jądrze ogólnie jest trudniejsza, ale tutaj nie. Kiedy \(\displaystyle{ L(v) = 0}\)? Umiesz rozwiązać ten układ czterech równań?