Niezrozumiałe skracanie w liczeniu macierzy

[glugsti]

Cześć,

jestem w trakcie kursu i przerabiam ortogonalizacje Grama-Schmidta i prowadzący podczas zajęć przekazał nam taki o to zapis:

\(\displaystyle{
V_{1} = \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]} V_{2} = \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]} V_{3} = \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]}
}\)

\(\displaystyle{ e_{1} = \frac{V_{1}}{|V_{1}|} = \frac{1}{ \sqrt{3} }\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]} }\)

\(\displaystyle{ u_{2} = V_{2} - ( V_{2} \cdot e_{1} ) e_{1} = \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]} - ( \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]} \cdot\frac{1}{ \sqrt{3}}\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]} )\frac{1}{ \sqrt{3}}\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]} = \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]} - \frac{1}{3} \cdot 3 \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]} = \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right]} }\)

I niestety nie rozumiem skąd wzieło się to:

\(\displaystyle{ ( \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]} \cdot\frac{1}{ \sqrt{3}}\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]} )\frac{1}{ \sqrt{3}}\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]} = \frac{1}{3} \cdot 3 \displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]}
}\)

Czy ktoś mógłby mi to rozpisać na czynniki pierwsze bo o ile to jest dla mnie zrozumiałe:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3}}\cdot\frac{1}{ \sqrt{3}}\ = \frac{1}{ 3}}\)

to nie rozumiem w jaki sposób skraca się pierwszy macierz i powstaje 3.

[Jan Kraszewski]

A wiesz, co to jest \(\displaystyle{ V_{2}\cdot e_{1}}\) ? Co oznacza ta kropeczka?

JK