Macierz 3x3 o wyrazach rzeczywistych (a,b,c)

[Adas2137Adas]

Mam problem z jednym pytaniem wielokrotnego wyboru na studiach, bardzo prosze o pomoc

Niech A będzie macierzą wymiaru 3 x 3 o wyrazach rzeczywistych. Wówczas na pewno
A. Istnieją trzy liczby rzeczywiste lub zespolone, które są wartościami własnymi macierzy A
B. Macierz A ma co najmniej jedną rzeczywistą wartośc własną
C. Macierz A może mieć trzy wartości własne, które są liczbami zespolonymi o częściach urojonych różnych od 0

Bardzo prosze o wskazanie poprawnej odpowiedzi, lub twierdzenia na podstawie którego można rozwiązać to zadanie, moim zdaniem poprawna jest tylko odpowiedź C

[Premislav]

Wartości własne macierzy to pierwiastki jej wielomianu charakterystycznego. Dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) o współczynnikach rzeczywistych wielomian ten będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 3}\) o współczynnikach rzeczywistych. Dlatego:
A. Nieprawda, np. wielomian charakterystyczny może być równy \(\displaystyle{ (1-x)^{3}}\) i wtedy jedyna taka wartość własna to \(\displaystyle{ 1}\).
B. Prawda, wszak każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 3}\) przyjmuje wartość zero dla pewnej liczby rzeczywistej, co wynika łatwo np. z twierdzenia Darboux.
C. Nieprawda, gdyż jeśli jakaś liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba do niej sprzężona też.