znajdź macierz odwzorowania liniowego.

[shreder221]

Dzień dobry mielibyście czas pomóc? Dziś się dowiedziałem że jutro mam kolokwium i próbuję szybko nadrobić co niektóre zagadnienia. Czy też nomenklaturę jak w tym przypadku. Mianowicie

Zrobiłem kilka zadań z odnajdywania macierzy odwzorowania i umiem zrobić zadanie w stylu

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f:\RR^{4}\rightarrow \RR^{3}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z,w)=(2x-y+w,x+2-3z,-x+4y+z+3w)}\)

Ale muszę umieć też zadanie takie jak:

Ukryta treść:    

Znajdź macierz podanych odwzorowań liniowych :
\(\displaystyle{ \phi:\RR^{3}[x] \rightarrow \RR^{3}[x]}\) w bazie \(\displaystyle{ {1,x,x^2,x^3}}\)


i np.
\(\displaystyle{ (\phi(f)(x))=f(2x-1)}\)

i nie bardzo wiem jak się za to zabrać.

[Jan Kraszewski]

Ale te zadania robi się dokładnie tak samo!

Z czym masz kłopot?

JK

[shreder221]

kwestia nomenklatury.
w pierwszym przykładzie dla pierwszej kolumny zrobiłbym to następująco.
\(\displaystyle{ f(e _{1})= f([1,0,0)]=(2,1,-1)}\)

w drugim przykładzie:
po pierwsze nie lubię takiego zapisu funkcji dodatkowymi nawiasami. I nigdy nwm co z tym począć.
Po drugie mam tylko jedną formułkę na cały wymiar\(\displaystyle{ \RR^{3}}\) a wyżej miałem trzy formułki \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) i mogłem po kolei podstawiać. Podejrzewam że jest to to samo ale nie potrafię przebrnąć przez te problemy

dla pierwszej kolumny bym to zrobił następująco
\(\displaystyle{ \phi (f(1))=(-1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x))= (0,2,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{2}))= (0,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{3}))= (0,0,0,0)}\)

lub


\(\displaystyle{ \phi (f(1))=(-1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x))= (-1,2,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{2}))= (-1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{3}))= (-1,0,0,0)}\)

[Jan Kraszewski]

w drugim przykładzie:
po pierwsze nie lubię takiego zapisu funkcji dodatkowymi nawiasami. I nigdy nwm co z tym począć.

No tak, wyraźnie nie rozumiesz definicji tej funkcji. To jest funkcja ze zbioru wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej trzy w ten sam zbiór.

Po drugie mam tylko jedną formułkę na cały wymiar\(\displaystyle{ \RR^{3}}\) a wyżej miałem trzy formułki \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) i mogłem po kolei podstawiać. Podejrzewam że jest to to samo ale nie potrafię przebrnąć przez te problemy

A tego to w ogóle nie rozumiem.

dla pierwszej kolumny bym to zrobił następująco
\(\displaystyle{ \phi (f(1))=(-1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x))= (0,2,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{2}))= (0,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{3}))= (0,0,0,0)}\)

lub
\(\displaystyle{ \phi (f(1))=(-1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x))= (-1,2,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{2}))= (-1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \phi (f(x^{3}))= (-1,0,0,0)}\)

Niee...

Za \(\displaystyle{ f}\) wstawiasz kolejne wielomiany bazowe i wyniki rozpisujesz w bazie. Masz

\(\displaystyle{ \phi(1)=1=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\
\phi(x)=2x-1=-1\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3\\
\phi(x^2)=(2x-1)^2=4x^2-4x+1=1\cdot 1-4\cdot x+4\cdot x^2+0\cdot x^3\\
\phi(x^3)=(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1=-1\cdot 1+6\cdot x-12\cdot x^2+8\cdot x^3}\)

zatem macierz wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&-1&1&-1\\
0&2&-4&6\\
0&0&4&-12\\
0&0&0&8
\end{bmatrix}}\)

JK

[shreder221]

dziękuję bardzo