Podstawowe pojęcia.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Podstawowe pojęcia.
Może mógłby mi ktoś wyjaśnić o co chodzi w tym fragmencie bo kompletnie tego nie rozumiem. Nikt nam nawet nigdy nie wyjaśnił dobrze czym jest przekształcenie liniowe więc jeśli można to proszę o łopatologiczne wyjaśnienie. Wszystkie definicje które znalazłem w necie nie były dla mnie zbyt zrozumiałe. Dla wyjaśnienia kontekstu jest to fragment z wykładu o mechanice płynów gdzie wyprowadzany jest własnie wzór na siłę powierzchniową. Wektor n jest wektorem normalnym do płaszczyzny, sigma to wektor naprężeń a Theta to tensor naprężeń. Problem jest jednak głównie po stronie matematycznej gdyż nie wiem skąd się biorą te przekształcenia. Algebra była u nas bardzo słabo wyjaśniona i opierała się na nauczeniu schematów do konkretnych zadań a teraz niestety nie mam czasu na nauczenie się jej.
Załóżmy, że wersor normalny \(\displaystyle{ \vec{n} }\) pokrywa się z wersorem bazy \(\displaystyle{ e_{j} }\). Wektor naprężeń
\(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)}\) ma w bazie \(\displaystyle{ \left\{ e_{j} , j=1,2,3\right\} }\) jednoznaczne przedstawienie, a mianowicie \(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)=\sigma _{ij}\left( t, \vec{x} \right)e _{i} }\) (sumowanie po i)
Ogólna formuła dla wektora naprężeń może być zatem zapisana następująco
\(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , \vec{n} \right)=n _{j} \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)=\sigma _{ij} \left( t, \vec{x} \right)n _{j} e _{i} =\Theta(t, \vec{x}) \vec{n} }\)
W naszym wyprowadzeniu pojawiła się „w naturalny sposób” macierz, która reprezentuje (w wybranej bazie) tzw. tensor naprężeń. Tensor ten jest na ogół zależny od miejsca i od czasu, czyli mamy do czynienia z polem tensorowym.
Zauważmy, że tensor naprężeń \(\displaystyle{ \Theta}\) zadaje transformację liniową (sparametryzowaną przez czas t i wektor współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{x} }\)) pomiędzy wektorami w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
\(\displaystyle{ \Theta: E^{3}\ni \vec{w}=w _{j} e _{j}\longmapsto \sigma _{ij} w _{j} e _{i} \in E ^{3} }\)
W szczególności
\(\displaystyle{ \Theta\left( \vec{n} \right)=\Theta \vec{n} =\sigma _{ij} n _{j} e _{i} = \vec{\sigma} }\)
Załóżmy, że wersor normalny \(\displaystyle{ \vec{n} }\) pokrywa się z wersorem bazy \(\displaystyle{ e_{j} }\). Wektor naprężeń
\(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)}\) ma w bazie \(\displaystyle{ \left\{ e_{j} , j=1,2,3\right\} }\) jednoznaczne przedstawienie, a mianowicie \(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)=\sigma _{ij}\left( t, \vec{x} \right)e _{i} }\) (sumowanie po i)
Ogólna formuła dla wektora naprężeń może być zatem zapisana następująco
\(\displaystyle{ \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , \vec{n} \right)=n _{j} \vec{\sigma} \left( t, \vec{x} , e_{j}\right)=\sigma _{ij} \left( t, \vec{x} \right)n _{j} e _{i} =\Theta(t, \vec{x}) \vec{n} }\)
W naszym wyprowadzeniu pojawiła się „w naturalny sposób” macierz, która reprezentuje (w wybranej bazie) tzw. tensor naprężeń. Tensor ten jest na ogół zależny od miejsca i od czasu, czyli mamy do czynienia z polem tensorowym.
Zauważmy, że tensor naprężeń \(\displaystyle{ \Theta}\) zadaje transformację liniową (sparametryzowaną przez czas t i wektor współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{x} }\)) pomiędzy wektorami w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
\(\displaystyle{ \Theta: E^{3}\ni \vec{w}=w _{j} e _{j}\longmapsto \sigma _{ij} w _{j} e _{i} \in E ^{3} }\)
W szczególności
\(\displaystyle{ \Theta\left( \vec{n} \right)=\Theta \vec{n} =\sigma _{ij} n _{j} e _{i} = \vec{\sigma} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Podstawowe pojęcia.
Algebraiczny opis - wektora i tensora naprężeń jest ściśle związany w tym przypadku z fizycznymi własnościami cieczy.
Dlatego, aby zrozumieć ten opis, musimy rozpocząć nasze rozważania od teorii płynów.
Model płynu lepkiego
Przypuśćmy, że rozpatrujemy pewien nieskończenie mały element płynu w kształcie czworościanu. Na element ten działają siły masowe i siły powierzchniowe.
Oznaczając objętość czworościanu przez \(\displaystyle{ d \tau = dx\cdot dy \cdot dz, }\) możemy określić jego masę jako iloczyn \(\displaystyle{ \rho \cdot d\tau }\)
Równanie zachowania ilości ruchu dla tego płynu ma postać
\(\displaystyle{ \rho\frac{d\vec{u}}{dt} = \rho \vec{f ( \vec{x}, t)}d\tau + \vec{\sigma}_{n}( \vec{x}, t, \vec{n}) dS_{n} - \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{1})dS_{1} -\vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{2})dS_{2} - \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{3})dS_{3} \ \ (1) }\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{n}, \ \ \vec{e}_{1}, \ \ \vec{e}_{2}, \ \ \vec{e}_{3} }\) orientują odpowiednio elementy \(\displaystyle{ dS_{n}, \ \ dS_{1}, \ \ dS_{2}, \ \ dS_{3} }\)
Zauważmy, że element \(\displaystyle{ d\tau \sim dx\cdot dy \cdot dz }\) jest o rząd mniejszy od elementu \(\displaystyle{ dS \sim dx \cdot dy, }\) wobec tego równanie \(\displaystyle{ (1) }\) możemy aproksymować do postaci:
\(\displaystyle{ \vec{\sigma}_{n}( \vec{x}, t, \vec{n}) dS_{n} = \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{1})dS_{1} +\vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{2})dS_{2} + \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{3})dS_{3} \ \ (2) }\)
Jeśli składowe wektora normalnego do powierzchni płynu oznaczymy przez
\(\displaystyle{ \vec{n} = n_{1} \vec{e}_{1} + n_{2}\vec{e}_{2} + n_{3}\vec{e}_{3} = \cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{1} +\cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{2} + cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{3}, }\)
to między ściankami czworościanu zachodzą relacje
\(\displaystyle{ dS_{1}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}), \ \ dS_{2}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}), \ \ dS_{3}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}) \ \ (3) }\)
Podstawiając równości \(\displaystyle{ (3) }\) do \(\displaystyle{ (2) }\), otrzymujemy z liniowości przekształcenia
\(\displaystyle{ \sigma(t, \vec{x}, \vec{n}) = \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{1} )\cdot n_{1} + \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{2} )\cdot n_{2} + \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{3} )\cdot n_{3} = \sigma(t, \vec{x} )\cdot n_{1}\cdot \vec{e}_{1} +\sigma(t, \vec{x} )\cdot n_{2} \cdot \vec{e}_{2} +\sigma(t, \vec{x})\cdot n_{3} \cdot \vec{e}_{3} \ \ (4)}\)
Gęstość rozkładu sił powierzchniowych określona wektorem \(\displaystyle{ \sigma(t, \vec{x}, \vec{n}) }\) nazywamy wektorem naprężenia (naprężeń)
Z równania \(\displaystyle{ (4) }\) wynikają trzy równania skalarne
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sigma(t, \vec{x},e_{1})= \sigma_{11} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{21}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{31}(t, \vec{x}) n_{3}\\
\sigma(t, \vec{x},e_{2})= \sigma_{12} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{22}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{32}(t, \vec{x}) n _{3} \\
\sigma(t, \vec{x},e_{3}) = \sigma_{13} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{23}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{33}(t, \vec{x}) n_{3} \end{cases} }\)
Powyższy układ równań może być zapisany w postaci
\(\displaystyle{ \vec{\sigma}(t, \vec{x}, \vec{e}_{n}) = \Theta(t, \vec{x})\cdot \vec{n} }\)
gdzie macierz
\(\displaystyle{ \Theta(t, \vec{x}) = \left [ \begin{matrix} \sigma_{11}(t, \vec{x}) & \sigma_{21}(t, \vec{x}) & \sigma_{31}(t, \vec{x})\\
\sigma_{12}(t, \vec{x}) & \sigma_{22}(t, \vec{x}) & \sigma_{23}(t, \vec{x}) \\
\sigma_{13}(t, \vec{x}) & \sigma_{23}(t, \vec{x}) & \sigma_{33}(t, \vec{x}) \end{matrix} \right] }\)
jest tensorem stanu naprężenia - tensorem naprężenia.
Tensory naprężeń (napięć) mają szereg właściwości. Do najważniejszych z nich należy niezmienniczość względem przekształceń ortogonalnych i symetryczność.
Model płynu nielepkiego (idealnego)
Przypomnijmy znane ze szkoły Prawo Blaisa Pascala: "ciśnienie w cieczy rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach i jest zawsze prostopadle skierowane do powierzchni granicznych".
Opierając się na tym prawie, przyjmujemy równość naprężeń normalnych (prostopadłych) w każdym z trzech kierunków
\(\displaystyle{ \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}. }\)
Możemy sformułować definicję cieczy nielepkiej (idealnej) jako ośrodka ciągłego, w którym istnieją tylko napięcia normalne jednakowe w każdym kierunku. Napięcia styczne są równe zeru.
Proszę napisać postać tensora naprężenia dla tego modelu.
Dlatego, aby zrozumieć ten opis, musimy rozpocząć nasze rozważania od teorii płynów.
Model płynu lepkiego
Przypuśćmy, że rozpatrujemy pewien nieskończenie mały element płynu w kształcie czworościanu. Na element ten działają siły masowe i siły powierzchniowe.
Oznaczając objętość czworościanu przez \(\displaystyle{ d \tau = dx\cdot dy \cdot dz, }\) możemy określić jego masę jako iloczyn \(\displaystyle{ \rho \cdot d\tau }\)
Równanie zachowania ilości ruchu dla tego płynu ma postać
\(\displaystyle{ \rho\frac{d\vec{u}}{dt} = \rho \vec{f ( \vec{x}, t)}d\tau + \vec{\sigma}_{n}( \vec{x}, t, \vec{n}) dS_{n} - \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{1})dS_{1} -\vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{2})dS_{2} - \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{3})dS_{3} \ \ (1) }\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{n}, \ \ \vec{e}_{1}, \ \ \vec{e}_{2}, \ \ \vec{e}_{3} }\) orientują odpowiednio elementy \(\displaystyle{ dS_{n}, \ \ dS_{1}, \ \ dS_{2}, \ \ dS_{3} }\)
Zauważmy, że element \(\displaystyle{ d\tau \sim dx\cdot dy \cdot dz }\) jest o rząd mniejszy od elementu \(\displaystyle{ dS \sim dx \cdot dy, }\) wobec tego równanie \(\displaystyle{ (1) }\) możemy aproksymować do postaci:
\(\displaystyle{ \vec{\sigma}_{n}( \vec{x}, t, \vec{n}) dS_{n} = \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{1})dS_{1} +\vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{2})dS_{2} + \vec{\sigma}( t, \vec{x}, \vec{e}_{3})dS_{3} \ \ (2) }\)
Jeśli składowe wektora normalnego do powierzchni płynu oznaczymy przez
\(\displaystyle{ \vec{n} = n_{1} \vec{e}_{1} + n_{2}\vec{e}_{2} + n_{3}\vec{e}_{3} = \cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{1} +\cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{2} + cos(\vec{n}, \vec{x}) \vec{e}_{3}, }\)
to między ściankami czworościanu zachodzą relacje
\(\displaystyle{ dS_{1}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}), \ \ dS_{2}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}), \ \ dS_{3}= dS_{n}\cos(\vec{n},\vec{x}) \ \ (3) }\)
Podstawiając równości \(\displaystyle{ (3) }\) do \(\displaystyle{ (2) }\), otrzymujemy z liniowości przekształcenia
\(\displaystyle{ \sigma(t, \vec{x}, \vec{n}) = \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{1} )\cdot n_{1} + \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{2} )\cdot n_{2} + \sigma(t, \vec{x}, \vec{e}_{3} )\cdot n_{3} = \sigma(t, \vec{x} )\cdot n_{1}\cdot \vec{e}_{1} +\sigma(t, \vec{x} )\cdot n_{2} \cdot \vec{e}_{2} +\sigma(t, \vec{x})\cdot n_{3} \cdot \vec{e}_{3} \ \ (4)}\)
Gęstość rozkładu sił powierzchniowych określona wektorem \(\displaystyle{ \sigma(t, \vec{x}, \vec{n}) }\) nazywamy wektorem naprężenia (naprężeń)
Z równania \(\displaystyle{ (4) }\) wynikają trzy równania skalarne
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sigma(t, \vec{x},e_{1})= \sigma_{11} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{21}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{31}(t, \vec{x}) n_{3}\\
\sigma(t, \vec{x},e_{2})= \sigma_{12} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{22}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{32}(t, \vec{x}) n _{3} \\
\sigma(t, \vec{x},e_{3}) = \sigma_{13} (t, \vec{x}) n_{1} + \sigma_{23}(t, \vec{x}) n_{2}+ \sigma_{33}(t, \vec{x}) n_{3} \end{cases} }\)
Powyższy układ równań może być zapisany w postaci
\(\displaystyle{ \vec{\sigma}(t, \vec{x}, \vec{e}_{n}) = \Theta(t, \vec{x})\cdot \vec{n} }\)
gdzie macierz
\(\displaystyle{ \Theta(t, \vec{x}) = \left [ \begin{matrix} \sigma_{11}(t, \vec{x}) & \sigma_{21}(t, \vec{x}) & \sigma_{31}(t, \vec{x})\\
\sigma_{12}(t, \vec{x}) & \sigma_{22}(t, \vec{x}) & \sigma_{23}(t, \vec{x}) \\
\sigma_{13}(t, \vec{x}) & \sigma_{23}(t, \vec{x}) & \sigma_{33}(t, \vec{x}) \end{matrix} \right] }\)
jest tensorem stanu naprężenia - tensorem naprężenia.
Tensory naprężeń (napięć) mają szereg właściwości. Do najważniejszych z nich należy niezmienniczość względem przekształceń ortogonalnych i symetryczność.
Model płynu nielepkiego (idealnego)
Przypomnijmy znane ze szkoły Prawo Blaisa Pascala: "ciśnienie w cieczy rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach i jest zawsze prostopadle skierowane do powierzchni granicznych".
Opierając się na tym prawie, przyjmujemy równość naprężeń normalnych (prostopadłych) w każdym z trzech kierunków
\(\displaystyle{ \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}. }\)
Możemy sformułować definicję cieczy nielepkiej (idealnej) jako ośrodka ciągłego, w którym istnieją tylko napięcia normalne jednakowe w każdym kierunku. Napięcia styczne są równe zeru.
Proszę napisać postać tensora naprężenia dla tego modelu.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Podstawowe pojęcia.
Dla płynu nielepkiego wektor bedzie taki, tylko skladowe dzialajace na kierunkach głownych bez skladowych stycznych.
\(\displaystyle{ \Theta(t, \vec{x}) = \left [ \begin{matrix} \sigma_{11}(t, \vec{x}) & 0 & 0\\
0 & \sigma_{22}(t, \vec{x}) & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{33}(t, \vec{x}) \end{matrix} \right] }\)
Możesz wyjasnic jeszcze jak sa wyznaczone te 3 rownania skalarne z rownania (4) bo jakoś tego nie widze?
Oraz co oznacza jeszcze ostatnia linijki w moim poscie.
Reszta już troche mi sie rozjaśniła
Dodano po 1 godzinie 34 minutach 48 sekundach:
Jeszcze jakby żeby policzyć składową normalną to jest coś takiego:
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Po policzeniu nawiasu dostaje:
\(\displaystyle{ n _{1} ^2\sigma _{11} +n _{2} ^2\sigma _{22} + n _{3} ^2\sigma _{33} + 2 n _{1}n _{2} \sigma _{12} +2n _{1} n _{3} \sigma _{13} + 2n _{2} n _{3} \sigma _{23} }\)
Po pomnozeniu tej liczby przez wektor \(\displaystyle{ \left[ n _{1},n _{2},n _{3} \right] }\) powstanie wektor ktory mialby byc skladowa normalna naprezenia. Wydawalo mi sie ze bedzie to po prostu \(\displaystyle{ \left[ \sigma _{11}, \sigma _{22}, \sigma _{33} \right] }\). Coś zrobiłem źle czy tak ma byc?
\(\displaystyle{ \Theta(t, \vec{x}) = \left [ \begin{matrix} \sigma_{11}(t, \vec{x}) & 0 & 0\\
0 & \sigma_{22}(t, \vec{x}) & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{33}(t, \vec{x}) \end{matrix} \right] }\)
Możesz wyjasnic jeszcze jak sa wyznaczone te 3 rownania skalarne z rownania (4) bo jakoś tego nie widze?
Oraz co oznacza jeszcze ostatnia linijki w moim poscie.
Reszta już troche mi sie rozjaśniła
Dodano po 1 godzinie 34 minutach 48 sekundach:
Jeszcze jakby żeby policzyć składową normalną to jest coś takiego:
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Po policzeniu nawiasu dostaje:
\(\displaystyle{ n _{1} ^2\sigma _{11} +n _{2} ^2\sigma _{22} + n _{3} ^2\sigma _{33} + 2 n _{1}n _{2} \sigma _{12} +2n _{1} n _{3} \sigma _{13} + 2n _{2} n _{3} \sigma _{23} }\)
Po pomnozeniu tej liczby przez wektor \(\displaystyle{ \left[ n _{1},n _{2},n _{3} \right] }\) powstanie wektor ktory mialby byc skladowa normalna naprezenia. Wydawalo mi sie ze bedzie to po prostu \(\displaystyle{ \left[ \sigma _{11}, \sigma _{22}, \sigma _{33} \right] }\). Coś zrobiłem źle czy tak ma byc?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Podstawowe pojęcia.
Odpowiedź poprawna. Macierz tensora naprężeń \(\displaystyle{ \Theta }\) jest macierzą diagonalną, zwierającą na diagonali naprężenia w kierunkach głównych.
To przekształcenie wynika z definicji kosinusów kierunkowych.
To przekształcenie wynika z definicji kosinusów kierunkowych.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Podstawowe pojęcia.
Mam też coś takiego w prezentacji:
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Po policzeniu nawiasu dostaje:
\(\displaystyle{ n _{1} ^2\sigma _{11} +n _{2} ^2\sigma _{22} + n _{3} ^2\sigma _{33} + 2 n _{1}n _{2} \sigma _{12} +2n _{1} n _{3} \sigma _{13} + 2n _{2} n _{3} \sigma _{23} }\)
Po pomnozeniu tej liczby przez wektor \(\displaystyle{ \left[ n _{1},n _{2},n _{3} \right] }\) powstanie wektor ktory mialby byc skladowa normalna naprezenia. Wydawalo mi sie ze bedzie to po prostu \(\displaystyle{ \left[ \sigma _{11}, \sigma _{22}, \sigma _{33} \right] }\). Coś zrobiłem źle czy tak ma byc?
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Po policzeniu nawiasu dostaje:
\(\displaystyle{ n _{1} ^2\sigma _{11} +n _{2} ^2\sigma _{22} + n _{3} ^2\sigma _{33} + 2 n _{1}n _{2} \sigma _{12} +2n _{1} n _{3} \sigma _{13} + 2n _{2} n _{3} \sigma _{23} }\)
Po pomnozeniu tej liczby przez wektor \(\displaystyle{ \left[ n _{1},n _{2},n _{3} \right] }\) powstanie wektor ktory mialby byc skladowa normalna naprezenia. Wydawalo mi sie ze bedzie to po prostu \(\displaystyle{ \left[ \sigma _{11}, \sigma _{22}, \sigma _{33} \right] }\). Coś zrobiłem źle czy tak ma byc?
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Podstawowe pojęcia.
To czemu mam w wykladzie mam napisane ze to bedzie
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Skoro wedlug tego co policzylem da to wynik zawierajacy rowniez naprezenia styczne.
\(\displaystyle{ \vec{ \sigma _{n} } = \left( \vec{n} \cdot \Theta \vec{n} \right) \vec{n} }\)
Skoro wedlug tego co policzylem da to wynik zawierajacy rowniez naprezenia styczne.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 30 sty 2019, o 15:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Re: Podstawowe pojęcia.
Tak, wiec coś jest chyba w tym nie tak, ale ten pierwszy wzor mialem podany na wykladzie i wydaje mi sie ,ze dobrze go rozpisalem.